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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 71

Uma variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabilidades:

f X ( x ) = e - x , x ≥ 0

  1. Encontre a distribuição de probabilidades para Y=X^2
  2. Encontre a distribuição de probabilidades para Y=X^1/2
  3. Encontre a distribuição de probabilidades para Y=lnX

Passo 1

A distribuição de probabilidade de X é:

f X ( x ) = e - x , x ≥ 0

Letra a:

Vamos calcular a distribuição de probabilidade de Y = X 2

y =   x 2

x = y

Primeiro vamos calcular o Jacobiano.

J = d x d y = 1 2 y

A distribuição de probabilidade de Y é:

f Y ( y ) = f X ( x ) | J | = 1 2 y ,   0 ≤ y < ∞

Passo 2

Letra b:

Vamos calcular a distribuição de probabilidade de Y = X 1 2

y = x

x = y 2

Primeiro vamos calcular o Jacobiano.

J = d x d y = 2 y

A distribuição de probabilidade de Y é:

f Y ( y ) = f X ( x ) | J | =   2 y e - y 2 ,   0 ≤ y < ∞

Passo 3

Letra c:

Vamos calcular a distribuição de probabilidade de Y = l n X

y = l n x

x = e y

Primeiro vamos calcular o Jacobiano.

J = d x d y = e y

A distribuição de probabilidade de Y é:

f Y ( y ) = f X ( x ) | J | =   e y - e y ,   - ∞ < y < ∞

Resposta

  1. f Y ( y ) = f X ( x ) | J | = 1 2 y ,   0 ≤ y < ∞
  2. f Y ( y ) = f X ( x ) | J | =   2 y e - y 2 ,   0 ≤ y < ∞
  3. f Y ( y ) = f X ( x ) | J | =   e y - e y ,   - ∞ < y < ∞
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