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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 4

Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e estrutural. A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é 0,01; independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20 ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos ainda um acréscimo de 20 minutos. Para uma máquina escolhida ao acaso, qual a probabilidade do tempo de interrupção (se não há falha, esse tempo é, zero):

a) Durar menos de 25 minutos?

b) Ultrapassar 40 minutos?

Passo 1

Vamos criar uma variável aleatória X, que representa o tempo de conserto e considerar 3 eventos:

  1. Falha Elétrica Tempo de conserto =10min
  2. Falha Mecânica Tempo de conserto = 20min
  3. Falha Estrutural Tempo de conserto = 50min

Passo 2

  1. Existem duas maneiras de a máquina ficar menos de 25min parada, ou seja, P ( X < 25 ) :

    2. Caso 0: Não ocorrer, nem A, nem B, nem C.

    Caso 1: Ocorrer A, e não ocorrer B nem C.

    Caso 2: Ocorrer B, e não ocorrer A nem C.

    Temos que calcular P C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2 = P C a s o   0 + P C a s o   1 + P ( C a s o   2 )

    P C a s o   0 = 1 - 0,01 × 1 - 0,01 × 1 - 0,01 = 0,9703

    P C a s o   1 = 0,01 × 1 - 0,01 × 1 - 0,01 = 0,0098

    P C a s o   2 = 1 - 0,01 × 0,01 × 1 - 0,01 = 0,0098

    P C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2 = 0 , 989899

    P X < 25 = 0,989899

    Passo 3

  2. Para facilitar o cálculo da letra B, ao invés de fazer a probabilidade do conserto durar mais de 40 minutos, vou fazer 1 menos a probabilidade do conserto durar 40min ou menos. Para durar menos de 40 min, temos 4 casos, o Caso 0, o Caso 1 e o Caso 2, que usamos na letra " a ” que duram menos de 40 min e o caso 3:

Caso 3: Ocorrer A e B, e não ocorrer C.

Logo P X > 40 = 1 - P X ≤ 40 = 1 - P ( C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2   o u   C a s o   3 )

P ( C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2   o u   C a s o   3 ) = P C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2 + P ( C a s o   3 )

P C a s o   3 = 0,01 × 0,01 × 1 - 0,01 = 0,000099

P C a s o   0   o u   C a s o   1   o u   C a s o   2   o u   C a s o   3 = 0,989899 + 0,000099 = 0,989998

P X > 40 = 1 - 0,989998 = 0,010002

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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