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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 3

Um equipamento consiste de duas peças A e B que têm 0,10 e 0,15 de probabilidade de serem de qualidade inferior. Um operário escolhe ao acaso uma peça tipo A e uma do tipo B para construir o equipamento. Na passagem pelo controle de qualidade o equipamento vai ser classificado. Será considerado como nível I, se as peças A e B forem de qualidade inferior. Será nível II, se uma delas for de qualidade inferior e, nível III, no outro caso. O lucro na venda é de R$ 10, R$ 20 ou R$ 30 para os níveis I, II ou III, respectivamente. Como se comporta a variável lucro? Para dois equipamentos vendidos, obtenha a função de probabilidade do lucro. Nesse caso, qual seria a probabilidade de pelo menos R$ 30 de lucro?

Passo 1

Vamos criar uma variável aleatória X que representa para a gente o Lucro com a venda do equipamento, podemos ter 3 valores de lucro:

R$10 se o equipamento for montado com A e B sendo peças de qualidade inferior Equipamento tipo I

R$20 se apenas A ou apenas B for de qualidade inferior Equipamento tipo II

R$30 se nem A nem B for de qualidade inferiorEquipamento tipo III

Passo 2

Calculando a probabilidade para cada caso, primeiro se ambas as peças são de qualidade inferior:

P X = 10 = 0,1 × 0,15 = 0,015

Para o segundo caso temos um o u logo teremos que somar a probabilidade de A ser de qualidade inferior e B superior, com a probabilidade de A ser de qualidade superior e B ser inferior:

P X = 20 = 0,1 × 1 - 0,15 + 1 - 0,1 × 0,15 = 0,085 + 0,135 = 0,220

E por ultimo, se as duas peças forem que boa qualidade:

P X = 30 = 1 - 0,1 × 1 - 0,15 = 0,765

Passo 3

Quando vendemos dois equipamentos, temos as seguintes possibilidades de lucro:

Equipamento 1 do tipo I e Equipamento 2 do tipo I R$20

Obs: Para melhorar nossa notação ao invés de escrever Equipamento 1 do tipo I e Equipamento 2 do tipo I vou escrever (I, I) no formato de “par ordenado”, exemplos:

  • Equipamento 1 do tipo I e Equipamento 2 do tipo I = ( I ,   I )
  • Equipamento 1 do tipo I e Equipamento 2 do tipo II =   ( I ,   I I )
  • Equipamento 1 do tipo III e Equipamento 2 do tipo I = ( I I I ,   I )

( I ,   I I ) ou ( I I ,   I ) R$30

( I I ,   I I )   ou ( I ,   I I I )   ou ( I I I ,   I ) R$40

( I I ,     I I I )     ou ( I I I ,   I I ) R$50

I I I , I I I   R$60

Passo 4

Sendo nossa variável aleatória Y, representando a quantidade de lucro da vendo de duas peças, podemos calcular as seguintes probabilidades:

P Y = 20 = P I ,   I = P X = 10 × P ( X = 10 )

Ueh mas como assim? O que eu fiz foi que eu usei a probabilidade de chance do equipamento ser do tipo I, que já calculamos e é P X = 10 = 0,015 , e utilizei isso para calcular a probabilidade de eu lucrar R$20 a partir das duas peças do tipo sendo vendidas, então:

P Y = 20 = 0,015 × 0,015 = 0,0002

Passo 5

Agora o próximo caso:

P Y = 30 = P I , I I + P I I ,   I = P X = 10 × P X = 20 + P X = 20 + P X = 1 0

P Y = 30 = 0,015 × 0,220 + 0,220 × 0,015 = 0,0066

E os seguintes:

P Y = 40 =   P I I ,   I I + P I ,   I I I + P I I I ,   I

P Y = 40 = 0,220 × 0,220 + 0,015 × 0,765 + 0,765 × 0,015 = 0,0714

P Y = 50 = P I I ,   I I I + P I I I , I I

P Y = 50 = 0,220 × 0,765 + 0,765 × 0,220 = 0,3366  

P Y = 60 = P I I I ,   I I I = 0,765 × 0,765 = 0,5852  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine a função de distribuição da variável aleatória do Exercício 3-15. Determine também as seguintes probabilidades: P ( X ≤ 1.25 ) P ( X ≤ 2.2 ) P ( - 1.1X ≤ 1 ) P ( X0 )
Verifique que as seguintes funções são funções de distribuição cumulativa e determine a função de probabilidade e as probabilidades requeridas. P ( X ≤ 3 ) P ( X ≤ 2 ) P ( 1 ≤ X ≤ 2 ) P ( X2 )
Determine a função de distribuição cumulativa da variável aleatória do Exercício 3-21.
F ( x ) = 0 ,s ex1 F ( x ) = 0.25 ,s e1 ≤x5 F ( x ) = 0.75 ,s e30 ≤x50 F ( x ) = 1 ,s ex≥50 P ( X ≤ 50 ) P ( X ≤ 40 ) P ( 40 ≤ X ≤ 60 ) P ( X0 ) P ( 0 ≤ X10 ) P ( - 10X10 )
Determine a função de distribuição cumulativa da variável aleatória do Exercício 3.16. Determine também as seguintes probabilidades: P ( X1.5 ) P ( X ≤ 3 ) P ( X2 ) P ( 1X ≤ 2 )