Teoria

Se você chegou até aqui, é porque tá ficando expert em teste de hipóteses!

Bom, vamos lá. Antes de tudo, é importante que você saiba que aqui nosso parâmetro vai mudar totalmente dos casos anteriores.

Vamos querer fazer um teste de hipóteses para proporções ( p ) . Esqueceu quem é esse carinha?

Vamos supor que numa população de 10000 pessoas, 7500 pessoas tenham o cabelo castanho. Qual vai ser a nossa proporção populacional  p  de pessoas com cabelo castanho? Só dividir o número de elementos com as características que queremos pelo tamanho da população:

p = 7500 10000 = 0,75

E da mesma forma que a gente tem uma proporção populacional, também vamos ter uma proporção amostral, que chamaremos de  p ^ .

Agora que você já sabe disso, vamos cair dentro desse tópico! Vamos aprender a resolver esse tipo de teste de hipóteses com um exemplo.

“Segundo uma revista, as condições de mortalidade de uma região são tais que a proporção de nascidos que sobrevivem até 60 anos é de 60%. Teste essa hipótese ao nível de significância α = 5 % , se em uma amostra de 1000 nascimentos, verificou-se 530 sobreviventes até 60 anos.”

1º Passo) O primeiro passo vai ser sempre começar vendo quem é nosso parâmetro.

Lendo bem o enunciado, a gente já descobre que ele tá falando sobre proporção, ou seja, nosso amigo p .

Depois disso, vamos escrever quais são nossas hipóteses:

H 0 :   p = 0,6 H 1 :   p ≠ 0,6

O cara falou que a proporção de pessoas que sobrevivem até os 60 anos é de 60 % , então nossa hipótese nula ( H 0 ) vai conter essa igualdade.

Como a hipótese alternativa ( H 1 ) precisa contrariar H 0 , e o enunciado não falou nada sobre essa proporção ser menor ou maior que isso, vamos considerar que a proporção é diferente de 60 % .

Estamos em um teste de hipótese bilateral!

2º Passo) Calcular nossa estatística de teste.

Essa velha amiga você já conhece também, é ela que usamos pra tomar nossa decisão.

Como estamos em um caso de proporção, a gente pode considerar que estamos num caso de distribuição normal. Isso acontece lááá pela propriedade de aproximar a Binomial pela Normal.

Ufa! Distribuição normal de novo, então não deve mudar muita coisa do caso da média com σ conhecido, certo?! Quase isso, meu amigo. Vem comigo.

A fórmula pra calcular a estatística de teste no caso de um teste de hipótese para proporção vai ser:

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n

Epa, peraí! Quem é esse p ^ mesmo?

Ele é a nossa proporção amostral! Temos que olhar pra nossa amostra, e ver a proporção de sobreviventes.

p ^ = 530 1000 = 0,53

Agora vamos substituir os valores na nossa fórmula?

Z t e s t e = p ^ - p p ( 1 - p ) n = 0,53 - 0,6 0,6 ( 1 - 0,6 ) 1000 = - 4,52

Guarda esse valor, ele é precioso! E claro, vem comigo pro próximo passo.

3º Passo) Agora precisamos descobrir qual é nossa região crítica, a região onde rejeitamos H 0 .

Por estarmos no caso da distribuição normal, aqui o passo a passo vai ser igualzinho ao teste de hipótese pra média com σ conhecido!

Como estamos num teste bilateral, nossos pontos críticos são:

z 1 - α 2 = z 1 - 0,025 = z 0,975 = 1,96

- z 1 - α 2 = - z 1 - 0,025 = - z 0,975 = - 1,96

Vamos ver como isso fica no nosso desenho? Lembrando que estamos num caso da distribuição normal, então podemos trabalhar com a nossa querida curvinha.

Essa dica é bem valiosa, hein: sempre faça o desenho!

4º Passo) Olhar onde o valor da estatística de teste está no desenho.

Cara, aqui vamos ver se nosso Z t e s t e está dentro ou fora da região crítica.

Opa! Nossa estatística de teste está dentro da região crítica. E a região crítica é onde rejeitamos H 0 !

5º Passo) Tomar a decisão

Cara, como nosso valor de Z t e s t e caiu dentro da região crítica, rejeitamos nossa hipótese nula ( H 0 ) ! Ou seja, a proporção de sobreviventes é realmente diferente de 60 % .

Tranquilão, né?! Vem pros exercícios!

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