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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 71

9-71. Reconsidene a poncentagem de titánio em uma liga usada na fundição de aeronaves do Exercicio 8-41. Lembre-se de

(a) Teste a hipitese, usando a0.05. Estabeleça quaisquer suposiçoes necessárias acerca da distribuição em foco dos dados. Encontre o valor P.

(b) Explique como você poderia responder a prgunta do item (a), consIruindo um intervalo bilateral de confiança de 95%.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 ≠ σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 0 2                   ( 1 )

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 > χ ρ 2 , n - 1 2 ,  ou se   χ 0 2 < χ 1 - α 2 , n - 1 2               ( 2 )

onde χ 2 α 2 , n - 1 e χ 2 1 - α 2 , n - 1 são os 100 α / 2 pontos percentuais superior e inferior da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

valor P  = 2 P χ 0 2 < χ α 2 , n - 1 2           ( 3 )

Sabemos que o desvio padrão da amostra de n = 51 medições foi s = 0.37 .

Passo 2

Letra a:

Considere o teste de H 0 : σ = 0.25 , contra H 1 : σ 2 ≠ 0.25 .

Agora, da Equação (1) obtemos o valor para o teste estatístico

χ 0 2 = ( 51 - 1 ) 0.37 2 0.25 2 = 109.52

Para α = 0.05 e da Tabela IV do Apêndice, obtemos

χ 0.025,50 2 = 71.42 χ 1 - 0.025,50 2 = 32.36 .

Então

χ 0 2 = 109.52 > 71.42 = χ 0.025.50 2

Agora, da Equação (2), concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

O valor P para este teste é obtido da Equação (3).

valor P = 2 P 109.52 < χ α 2 , 50 2

Nós sabemos que do Apêndice Tabela IV temos:

P χ α 2 , 50 2 > 79.49 = 0.005

Então

P χ α 2 , 50 2 > 109.52 < P χ α 2 , 50 2 > 79.49 P χ α 2 , 50 2 < 109.52 < 0.005

Portanto, o valor P para este teste é

valor P < 2 × 0.005

P-value  < 0.01  . 

Passo 3

Letra b:

Se s 2 é a variância da amostra de uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição normal com variância desconhecida σ 2 . Então um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % para σ é:

( n - 1 ) s 2 χ α 2 , n - 1 2 ≤ σ ≤ n - 1 s 2 χ 1 - α 2 , n - 1 2                     ( 1 )

onde χ 2 α 2 , n - 1 e χ 2 1 - α 2 , n - 1 são os 100 α / 2 pontos percentuais superior e inferior da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

Agora, das Equações (1), obtemos

50 × 0.37 2 71.42 ≤ σ ≤ 50 × 0.37 2 32.36

Então, um intervalo de confiança bilateral de 95% para σ é

0.31 < σ < 0.46

Rejeitamos H 0 porque 0.25 não pertence ao I C ( 0.31 ,   0.46 ) .

Resposta

  1. Rejeitamos H 0 porque χ 2 0 = 109.52 > 71.42 = χ 2 0.025 ,   50 . V a l o r   P < 0.01 .
  2. 0.31 < σ < 0.46
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