Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar um pouco sobre os tipos de erros estatísticos?!

Mas antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que são os testes de hipóteses! 👇

Teste de Hipóteses

Em um teste de hipóteses definimos uma hipótese nula e uma hipótese alternativa . O objetivo do teste é nos dizer se a gente pode ou não rejeitar a hipótese nula, por exemplo, eu posso dizer que:

A média dos alunos que estudam probabilidade e estatística pelo Responde Aí é igual a .

Para fazer um teste de hipóteses a gente pode dizer que:

O próximo passo é analisar os parâmetros pra decidir se podemos ou não rejeitar a hipótese nula. Mas…e se a gente errar? E se a hipótese nula for verdadeira e a gente rejeitar ela? E se for ao contrário, se a média dos alunos que estudam pelo RA for 8.5 e mesmo assim a gente aceitar a hipótese nula?!

Qual é a probabilidade de aceitarmos ou rejeitarmos a hipótese nula erroneamente?! É isso que a gente vai descobrir agora!

Erro do Tipo 1: Rejeitar a Hipótese Nula Erroneamente

O erro do tipo 1 acontece quando a hipótese nula esta correta mas mesmo assim ela é rejeitada! Pra ficar mais claro, vamos fazer um exemplo:

Uma indústria compra ímãs importados, que devem satisfazer algumas exigências quanto a resistência à tração dos mesmos. Compramos majoritariamente de dois países (A e B) que possuem diferenças entre si.

  • País A:
    • Resistência Média à tração:
    • Desvio-padrão:

  • País B:
    • Resistência Média à tração:
    • Desvio-padrão:

Um lote será leiloado e a empresa precisa saber qual país de origem antes de fazer uma oferta. Uma amostra de 25 unidades é coletada. Pouco antes do leilão será divulgada a média amostral, . Qual regra de decisão deve ser usada para decidir se vem de A ou de B?

Bom, primeiro de tudo, montamos nossas hipóteses assim:

  • Hipótese Nula : Os ímãs são de origem B
  • Hipótese Alternativa : Os ímãs são de origem B

Considerando a região crítica:

Região crítica
Região crítica

Podemos definir as probabilidades de erro do tipo da seguinte forma:

ããíãí
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Lembrando que, pra um caso geral temos:

é
ããíãí

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo!

Para calcular a probabilidade do erro fazemos:

Ou seja, se é verdadeira (os ímãs são de B), pelo Teorema Central do Limite, a distribuição de dada pela fórmula acima. De uma forma geral podemos dizer que:

Onde é a média, é a variância e é o tamanho da amostra. Para calcular a probabilidade do erro fazemos:

é

Para que nossa média amostral pertença à região crítica, então .

Padronizando, temos:

Pela tabela normal, temos que:

A probabilidade de ser quando afirmamos ser , ou seja, a probabilidade do erro tipo , é .

Erro do Tipo 2: Aceitar a Hipótese Nula Erroneamente

O erro do tipo 2 acontece quando a hipótese alternativa esta correta mas mesmo assim a gente aceita a hipótese nula. Para calcular a probabilidade do erro do tipo para o nosso exemplo, fazemos:

O passo a passo é igual o que vimos acima:

é

Padronizando, temos:

Pela tabela normal temos que:

Logo, a probabilidade de dizermos que é de quando é de , ou a probabilidade do erro tipo I, é de . Resumindo, temos:

Erro tipo I e II
Erro tipo I e II

Ou pra um caso geral:

Tabela resumo: Erro tipo I e II
Tabela resumo: Erro tipo I e II

Se rejeitarmos , e for verdadeira, estaremos cometendo um erro do tipo I. Já no caso de aceitarmos , e for falsa, estaremos cometendo um erro do tipo II.

Erro do Tipo 2: Aceitar a Hipótese Nula Erroneamente

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