Teoria

Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar um pouco sobre os tipos de erros estatísticos?!

Mas antes de qualquer coisa, vamos relembrar o que são os testes de hipóteses! 👇

Teste de Hipóteses

Em um teste de hipóteses definimos uma hipótese nula e uma hipótese alternativa . O objetivo do teste é nos dizer se a gente pode ou não rejeitar a hipótese nula, por exemplo, eu posso dizer que:

A média dos alunos que estudam probabilidade e estatística pelo Responde Aí é igual a .

Para fazer um teste de hipóteses a gente pode dizer que:

O próximo passo é analisar os parâmetros pra decidir se podemos ou não rejeitar a hipótese nula. Mas…e se a gente errar? E se a hipótese nula for verdadeira e a gente rejeitar ela? E se for ao contrário, se a média dos alunos que estudam pelo RA for 8.5 e mesmo assim a gente aceitar a hipótese nula?!

Qual é a probabilidade de aceitarmos ou rejeitarmos a hipótese nula erroneamente?! É isso que a gente vai descobrir agora!

Erro do Tipo 1: Rejeitar a Hipótese Nula Erroneamente

O erro do tipo 1 acontece quando a hipótese nula esta correta mas mesmo assim ela é rejeitada! Pra ficar mais claro, vamos fazer um exemplo:

Uma indústria compra ímãs importados, que devem satisfazer algumas exigências quanto a resistência à tração dos mesmos. Compramos majoritariamente de dois países (A e B) que possuem diferenças entre si.

  • País A:
    • Resistência Média à tração:
    • Desvio-padrão:

  • País B:
    • Resistência Média à tração:
    • Desvio-padrão:

Um lote será leiloado e a empresa precisa saber qual país de origem antes de fazer uma oferta. Uma amostra de 25 unidades é coletada. Pouco antes do leilão será divulgada a média amostral, . Qual regra de decisão deve ser usada para decidir se vem de A ou de B?

Bom, primeiro de tudo, montamos nossas hipóteses assim:

  • Hipótese Nula : Os ímãs são de origem B
  • Hipótese Alternativa : Os ímãs são de origem B

Considerando a região crítica:

Região crítica
Região crítica

Podemos definir as probabilidades de erro do tipo da seguinte forma:

ããíãí
ããíãí

Lembrando que, pra um caso geral temos:

é
ããíãí

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo!

Para calcular a probabilidade do erro fazemos:

Ou seja, se é verdadeira (os ímãs são de B), pelo Teorema Central do Limite, a distribuição de dada pela fórmula acima. De uma forma geral podemos dizer que:

Onde é a média, é a variância e é o tamanho da amostra. Para calcular a probabilidade do erro fazemos:

é

Para que nossa média amostral pertença à região crítica, então .

Padronizando, temos:

Pela tabela normal, temos que:

A probabilidade de ser quando afirmamos ser , ou seja, a probabilidade do erro tipo , é .

Erro do Tipo 2: Aceitar a Hipótese Nula Erroneamente

O erro do tipo 2 acontece quando a hipótese alternativa esta correta mas mesmo assim a gente aceita a hipótese nula. Para calcular a probabilidade do erro do tipo para o nosso exemplo, fazemos:

O passo a passo é igual o que vimos acima:

é

Padronizando, temos:

Pela tabela normal temos que:

Logo, a probabilidade de dizermos que é de quando é de , ou a probabilidade do erro tipo I, é de . Resumindo, temos:

Erro tipo I e II
Erro tipo I e II

Ou pra um caso geral:

Tabela resumo: Erro tipo I e II
Tabela resumo: Erro tipo I e II

Se rejeitarmos , e for verdadeira, estaremos cometendo um erro do tipo I. Já no caso de aceitarmos , e for falsa, estaremos cometendo um erro do tipo II.

Erro do Tipo 2: Aceitar a Hipótese Nula Erroneamente

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo:

  1. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
  2. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A :   μ = 175   e   σ = 10

B :   μ = 177   e   σ = 10

Qual a probabilidade do erro de tipo I? E do erro de tipo II?

Passo 1

Primeiro vamos definir nossas hipóteses:

H 0 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   A

H 1 :     m o r a d o r e s   s ã o   d e   B

Note que aqui você poderia definir o contrário se quisesse.

Sabendo disso, nossa região crítica vai ser quando:

x - > 176

Que é quando rejeitamos a hipótese nula.

Passo 2

Então a probabilidade do erro de tipo I vai ser:

P e r r o   t i p o   I = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = P ( x - > 176 | μ = 175 )

Padronizando isso aí:

P Z > 176 - 175 10 100 μ = 175 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Procurando esse z na tabela vemos que...

1 - Φ 1 = 1 - 0,8413 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I = 0,1587

Passo 3

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - < 176 | μ = 177 )

Padronizando:

P Z < 176 - 177 10 100 μ = 177 = P Z < - 1 = P Z > 1 = 1 - Φ ( 1 )

Então vai dar no mesmo cálculo que fizemos para o erro I :

1 - Φ 1 = 0,1587

Então:

P e r r o   t i p o   I I = 0,1587

Resposta

0,1587

0,1587

Exercício Resolvido #2

Para decidirmos se os habitantes de uma ilha são descendentes da civilização A ou B, iremos proceder do seguinte modo:

  1. Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura média deles;
  2. Se essa altura média for superior a 176, diremos que são descendentes de B; caso contrário, são descendentes de A.

Os parâmetros das alturas das duas civilizações são:

A :   μ = 175   e   σ = 10

B :   μ = 177   e   σ = 10

Qual deve ser a regra de decisão se quisermos fixar a probabilidade do erro de tipo I   em 5%? Qual a probabilidade do erro de tipo I I , nesse caso?

Passo 1

A questão tá perguntando a regra de decisão que devemos adotar, ou seja, qual deve ser o valor crítico c do nosso teste, que vai dividir nossas regiões entre crítica e de aceitação. Basicamente queremos ignorar o ponto 176 dado no item ii) e descobrir qual o novo valor desse ponto.

E a regra de decisão deve garantir que o erro de tipo I valha 0,05 , ou seja:

P e r r o   I = P x - > c μ = 175 = 0,05

Padronizando isso aí:

P Z > c - 175 10 100 = 0,05

P Z > c - 175 = 0,05

Invertendo o sinal:

P Z < - c + 175 = 0,05

Se tentarmos procurar o 0,05 no corpo da tabela da Normal, vamos perceber que algumas tabelas não tem esse valor. Nesse caso, procuramos o complementar de 0,05 , ou seja, 0,95 e colocamos o sinal de negativo na frente:

Φ 1,64 = 0,95

Φ - 1,64 = 0,05

Onde:

Φ - c + 175 = Φ - 1,64

Então:

- c + 175 = - 1,64

c = 176,64

Passo 2

Então agora o erro de tipo I I fica:

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - < 176,64 | μ = 177 )

Padronizando:

P Z < 176,64 - 177 10 100 μ = 177 = P Z < - 0,36 = P Z > 0,36 = 1 - Φ ( 0,36 )

= 1 - 0,6406 = 0,3594

Resposta

176,64

0,3594

Exercício Resolvido #3

Seja X o Q.I. dos estudantes de certa escola, com distribuição Normal de média desconhecida e desvio padrão 15. Suponha que se uma média amostral do Q.I. dos estudantes for maior que 106 , eles são considerados acima da média. Foi retirada uma amostra aleatória de 25 estudantes cujo Q.I. médio foi 106.

Calcule a probabilidade de cometer um erro de tipo I I ( β ), tomando como valor crítico para a média x - = 106 e considerando que o verdadeiro valor da média dos Q.I. de todos os alunos da escola é 110 .

Passo 1

Definindo as hipóteses:

H 0 :   e s t u d a n t e s   t e m   Q . I . a c i m a   d a   m é d i a

H 1 :   e s t u d a n t e s   n ã o   t e m   Q . I . a c i m a   d a   m é d i a

Passo 2

A probabilidade do erro de tipo II acontecer é dada por:

P e r r o   t i p o   I I = P r e j e i t a r   H 1 H 1   é   v e r d a d e i r a = P ( x - > 10 6 | μ = 1 10 )

Padronizando:

P Z > 106 - 110 15 25 μ = 110 = P Z > - 1 , 33 = P Z < 1 , 33 = Φ 1,33 = 0,9082

Resposta

0,9082

Exercício Resolvido #4

Calcule o ponto crítico de um teste que quer averiguar se a quantidade média de creme de leite em latinhas é inferior 300 m l . Para a realização do teste, foram analisadas 12 latinhas e obtida uma média de 298 m l . Considere o desvio padrão igual a 0,001 m l e α = 0,05 .

Passo 1

Primeiramente vamos escrever as hipóteses do nosso teste:

H 0 :     μ = 300

H 1 :     μ < 300

Já que queremos averiguar se a quantidade média é menor que 300 m l !

Passo 2

Como estamos num teste unilateral inferior, nossa ponto crítico é dado por:

- z 1 - α

E a nossa estatística de teste para média é:

x - - μ σ n

Igualando esses dois caras:

x - - μ σ n = - z 1 - α

Lembrando que x - = x - c é o ponto crítico!

Passo 3

Agora podemos substituir os valores do enunciado:

x c - - 300 0,001 12 = - z 1 - 0,05

x c - - 300 0,000289 = - z 0,95

x c - - 300 0,000289 = - 1,64

x c - - 300 = - 0,00047

x c - = 299,999

Resposta

x c - = 299,999

Exercício Resolvido #5

Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula aquela que para você leva a um erro do tipo I mais importante. Descobre quais dos dois erros em cada caso.

a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas. Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir entre as hipóteses:

1. Está tendo um ataque

2. tudo bem, apenas uma leve interferência.

b) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfriado. Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para verificar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lançará ou não a vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são:

1. a vacina é eficaz;

2. a vacina não é eficaz.

Passo 1

Vamos analisar a letra a)

O trabalho do operador é detectar aeronaves inimigas, portanto o erro é rejeitar a afirmação de um ataque, quando o mesmo está ocorrendo é gravíssima. Assim,

H 0 : Está tendo um ataque

E r r o   I : Rejeitar H 0 , o fato de estar tendo um ataque, quando o mesmo é verdadeiro.

H 1 : tudo bem, apenas uma leve interferência  

E r r o   I I : Aceitar H 0 quando a mesma é falsa

Passo 2

Analisando a letra b)

Mesmo que não exista nenhum efeito colateral é pior distribuir algo que não ajuda em nada, ou seja, nossa hipótese deve ser que a a vacina não é eficaz.

H 0 : A vacina não é eficaz

E r r o   I : dizendo que a vacina é eficaz, quando H 0 é verdadeira, ou seja, quando ela não é.

H 1 :   A vacina é eficaz.

E r r o   I I : Aceitar H 0 quando a mesma é falsa

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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