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Distribuição Poisson

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Teoria

A distribuição de Poisson é uma distribuição de probabilidade para variáveis aleatórias discretas. Ela nos dá a probabilidade de uma série de eventos independentes ocorrerem em um certo intervalo.

-Hãam?! 😖

Pra ficar mais claro, imagina a seguinte situação: Um operador de telemarketing recebe em média ligações por hora e eu quero saber qual é a probabilidade dele receber até ligações dentro de hora.

Como que eu resolvo isso? Com a Distribuição de Poisson que a gente vai aprender agora! Se liga nesse vídeo super completo que o Responde Aí preparou pra você! 🧡 👇

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Fórmula de Poisson

A fórmula de Poisson tem essa carinha aqui:

Onde:

  • é a probabilidade calculada por Poisson;
  • Lâmbda o número de ocorrências esperado dentro de um determinado intervalo;
  • é uma variável aleatória discreta que terá o valor ;
  • é a quantidade de vezes que um evento ocorre dentro de certo intervalo, então ele deve ser um número inteiro não negativo;
  • é um número irracional, chamado número de Euler, seu valor aproximado é .

Usamos a seguinte notação, para indicar que a variável aleatória tem distribuição de Poisson com parâmetro .

Exemplo: O número de pessoas que chegam a um determinado evento cultural é regido por um modelo de Poisson com média de pessoas por minuto. Qual a probabilidade de chegarem no máximo pessoas em minuto ?

Podemos dizer que:

O enunciado pede a probabilidade de chegarem no máximo pessoas em minuto, então isso engloba a probabilidade de não chegar nenhuma pessoa e de chegar uma pessoa.

Substituímos a fórmula de Poisson:

Agora é só calcular:

A probabilidade de chegarem até pessoas em minuto é de aproximadamente .

Aproximação da binomial pela Poisson

Em problemas onde o é maior ou igual a e seu produto com a probabilidade é menor que , podemos fazer a seguinte simplificação:


Nesses casos distribuição Binomial produz probabilidades muito parecidas com as obtidas por meio da distribuição de Poisson! Isso facilita bastante na hora das continhas!

Agora vamos praticar com exercícios?

Fórmula de Poisson

Aproximação da binomial pela Poisson

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P1-2013.2-1b)

  1. Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um exemplo real.

Passo 1

Primeira pergunta... que tipo de experimento define uma v.a. Poisson?

São eventos que acontecem por intervalo de tempo, de comprimento, de área, essas coisas..

Além disso, geralmente Poisson representa eventos raros, ou seja, quando existe probabilidade grande de acontecer nenhuma ou apenas uma vez em um intervalo considerável.

Passo 2

Pensando assim, vamos imaginar um exemplo.

Poderíamos usar o número de vezes que se ganha na megasena em dez anos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Exercício Resolvido #2

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,157 -34

O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2 . As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

Passo 1

Estamos trabalhando com distribuição de Poisson certo? Mas é a distribuição de qual variável? Será essa aqui ó

X :   o   n ú m e r o   d e   p e t r o l e i r o s   q u e   c h e g a m   à   r e f i n a r i a   e m   u m   d i a .  

Pelo enunciado temos que X ~ P o i s s o n 2 . Beleza?!

Vamos utilizar aqui então a formula

P X = k = e - λ . λ k k !          

Mas vamos ver como irá funcionar?

Passo 2

a) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

Bom, pelo enunciado sabemos que se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto, portanto queremos P ( X > 3 ) .

Se você reparar, a probabilidade do evento ocorrer para X > 3 é igual a 1 menos a probabilidade do conjugado X ≤   3 . Ou seja,

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3

Assim,

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

Sabemos, pela distribuição de Poisson que:

P X = k = e - λ . λ k k !                          

Substituindo:

P X = 0 = e - 2 . 2 0 0 ! = e - 2

P X = 1 = e - 2 . 2 1 1 ! = 2 e - 2

P X = 2 = e - 2 . 2 2 2 ! = 2 e - 2

P X = 3 = e - 2 . 2 3 3 ! = 4 e - 2 3

Assim

P X ≤ 3 = e - 2 + 2 e - 2 + 2 e - 2 + 4 e - 2 3 = 19 e - 2 3 = 0,8571

E

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 1 - 0,8571 = 0,1429

Passo 3

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

Queremos saber quantas instalações devemos aumentar para caber/atender todos os navios na maioria dos dias, em pelo menos 95% dos dias.

Se a nossa variável aleatória X é a quantidade de barcos que chegam ao nosso porto e podemos chamar de x o a quantidade de instalações no mesmo, para aceitar um barco precisamos que X ≤ x o certo?

E se queremos que a probabilidade de aceitar seja no mínimo 95%, queremos que:

P X ≤ x o ≥ 95 %

P X ≤ x o ≥ 0,95

Como desconhecemos x o precisamos ir na tentativa mesmo. O que queremos é um x o em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%.

Bom, sabemos pelo item anterios que

P X ≤ 3 = 0,8571

Vamos tentar X ≤ 4 ,     5 ,     …

P X ≤ 4 = P X ≤ 3 + P X = 4 = 19 e - 2 3 + 2 e - 2 3 = 0,9473

P X ≤ 5 = P X ≤ 4 + P X = 5 = 21 e - 2 3 + 4 e - 2 15 = 0,983

Opa! É esse né?

Como no caso são necessários 5 instalações e que como queremos saber quantas instalações A MAIS devemos ter e sabemos que temos apenas 3, precisamos colocar mais DUAS instalações!

Passo 4

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

Pela distribuição de Poisson a média é dada pelo parâmetro, ou seja,

E X = λ

Assim, neste caso é λ = 2 portanto E X = 2 .

Resposta

a) 0,1429

b) 2 instalações

c) λ = 2

Exercício Resolvido #3

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 152-23

Num certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés. Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha:

a) Nenhum corte?

b) No máximo dois cortes?

c) Pelo menos dois cortes?

Passo 1

O enunciado não nos diz então como podemos saber qual distribuição usar?

Estamos falando de algo contínuo, fita magnética, portanto podemos pensar na distribuição de Poisson em que a nossa variável aleatória é X, onde

X: Número de cortes da fita magnética a cada 2000 pés

Dado que decidimos ser a distribuição de Poisson precisamos definir quais são os parâmetros, no caso, quem é λ . No enunciado diz que:

“ocorrem cortes a uma taxa de um por 2.000 pés”

Portanto podemos notar que λ = 1 .

Passo 2

a) Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética tenha nenhum corte?

Se não queremos nenhum corte, isto quer dizer X = 0 . Portanto queremos

P X = 0 = e - 1 × 1 0 0 ! = 0,3679

Passo 3

b)Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética no máximo dois cortes?

No máximo dois cortes significa que X ≤ 2 , portanto

P X ≤ 2 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2

P X ≤ 2 = e - 1 × 1 0 0 ! + e - 1 × 1 1 1 ! + e - 1 × 1 2 2 ! =

P X ≤ 2 = 0,9197

Passo 4

c)Qual a probabilidade de que um rolo com 2.000 pés de fita magnética pelo menos dois cortes?

Se estamos falando PELO MENOS dois cortes queremos dizer que X ≥ 2 .

O bizu aqui é lembrar que esse PELO MENOS nos lembra daquela ideia do complementar, portanto

P X ≥ 2 = 1 - P X < 2

Precisamos calcular P ( X < 2 )

P X < 2 = P X = 0 + P X = 1 = 0,735

P X ≥ 2 = 1 - 0,735 = 0,2642

Resposta

a) 0,3679

b) 0,9197

c) 0,2642

Exercício Resolvido #4

CEFET-LISTA VA- REGINA-16

Em uma seção de uma auto-estrada, o número de buracos, que é bastante significante para requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson com média de dois buracos por quilômetro.

  1. Qual é a probabilidade de que não haja buracos que requeiram reparo em 5   k m de auto-estrada?
  2. Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira reparo em 0,5   k m de auto-estrada?
  3. Se o número de buracos estiver relacionado à carga do veículo na auto-estrada e algumas seções dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de veículos, enquanto outras seções estiverem sujeitas a uma carga leve de veículos, como você se sente a respeito da suposição de distribuição de Poisson para o número de buracos que requeiram reparo?

Passo 1

Se X é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 5 km de estrada.

Se a média é de 2 buracos por kilometro, em 5 km teremos uma média de 10 buracos, concorda?

Então, podemos dizer que:

X   ~   P o i s s o n   ( 10 )

Passo 2

(a)

Temos que calcular a probabilidade de que nenhum buraco precise de reparo em 5 km:

P X = 0

Vamos usar a fórmula de Poisson:

P X = 0 = e - 10 × 10 0 0 !

≅ 4,54 × 10 - 5

Passo 3

(b)

Se Y   é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 0,5 km de estrada.

Agora a média será de 1 buraco, concorda?

Y   ~   P o i s s o n   1

Passo 4

Temos que calcular a probabilidade de no mínimo um buraco precisar de reparo:

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usamos a fórmula:

P X = 0 = e - 1 × 1 0 0 !

≅ 0,3679

Então:

P X ≥ 1 ≅ 1 - 0,3679

≅ 0,6321

Passo 5

(c)

Seria um problema, pois Poisson trabalha com uma média e se a gente tiver um pedaço da estrada mais suscetível a buracos que precisem de reparos do que outros pedaços da estrada, provavelmente Poisson não representará bem a estrada como um todo.

Resposta

a ≅ 4,54 × 10 - 5

b ≅ 0,6321

Exercício Resolvido #5

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 152-24

Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.

Passo 1

Bom ele quer que a gente olhe de duas formas certo? Então vamos olhar primeiro pra Binomial!

- Binomial

Considerando X como o número de itens defeituosos encontrados na amostra, os parâmetros serão:

X ~ b ( 10 ; 0,2 )

Lembram né? Representamos a binomial como:

X ~ b ( r e p e t i ç õ e s , p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o )

E sabemos também que na binomial

P X = k = n k p k 1 - p n - k

Passo 2

Portanto se queremos a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado, queremos X ≤ 1 .

P X ≤ 1 = P X = 0 + P ( X = 1 )

P X ≤ 1 = 10 0 × 0,2 0 × 0,8 10 + 10 1 × 0,2 1 × 0,8 9

P X ≤ 1 = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Passo 3

Agora vamos olhar a distribuição de Poisson

- Poisson

É um pouco diferente, eu sei, olhar para esse caso como Poisson. Mas vamos tentar ok?

A nossa variável aleatória continua sendo X: o número de itens defeituosos encontrados na amostra.

Na distribuição de Poisson é sempre importante identificar o parâmetro, no caso o λ . Como o λ é geralmente a média, observando o enunciado, como temos dez itens e a probabilidade de ser defeituoso é 0,2 podemos dizer que a média de itens defeituosos é 2 certo? Portanto

λ = 2

Se queremos a probabilidade de no máximo dois defeituosos, queremos

P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1

P X ≤ 1 = e - 2 × 2 0 0 ! + e - 2 × 2 1 1 !

P X ≤ 1 = 0,4060

Passo 4

Então apesar de olharmos de formas completamente distintas, uma pela distribuição binomial e outra pela Poisson, podemos ver que os resultados apesar de não serem idênticos são próximos.

Resposta

Distribuição Binomial: 0,3758

Distribuição Poisson: 0,4060

Resultados razoavelmente próximos.

Exercício Resolvido #6

PUCRIO-P1-2014.1-4C

Você vai fazer uma análise estatística com dados de carros que passam pelas catracas do estacionamento da PUC – Rio. Foram coletados a quantidade, marcas e placas dos veículos que entraram no estacionamento em 1 semana (segunda a sábado; 6 dias).

Considerando somente o último algarismo das placas dos veículos da amostra (0 a 9), responda: (identifique qual é o modelo probabilístico em cada caso).

a) Pelos dados, durante toda a semana (segunda a sábado), passaram pelas catracas 5 carros da marca BMW no estacionamento; ou seja, um evento realmente “raro”. Qual a probabilidade de entrar mais que 2 carros da marca BMW em um dia qualquer da semana?

Passo 1

(a)

Seja X : nº de BMW que passam pelo estacionamento em um dia.

A gente sabe que em uma semana (6 dias) passaram 5 BMW. Fazendo uma regra de três aí, a gente descobre que em média passaram 5 6 BMW, por dia, no estacionamento.

Ou seja, podemos dizer que nossa variável X segue uma distribuição de Poisson com λ = 5 6 .

Passo 2

Pra calcular P X > 2 = 1 - P X = 2 + P X = 1 + P X = 0 (prob. de entrarem mais que dois carros é 1 menos a prob. de não entrar nenhum ou entrar 1 ou 2 carros), vamos usar a função de probabilidade da Poisson:

P X = k = e - λ . λ k k !

Agora só substituir:

P X = 0 = e - 5 6 . 5 6 0 0 ! ≅ 0,43

P X = 1 = e - 5 6 . 5 6 1 1 ! ≅ 0,36

P X = 2 = e - 5 6 . 5 6 2 2 ! ≅ 0,15

Pra finalizar:

P X > 2 = 1 - 0,43 + 0,36 + 0,15

P X > 2 ≅ 0,06

Resposta

a   P o i s s o n - 0,06

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