Função de Probabilidade e Função de Distribuição Acumulada

Vamos começar com o caso com reposição!

é o valor da soma das duas bolas sorteadas, beleza? Temos primeiro que montar a função de probabilidade de .

Quais são os possíveis valores de ? Se é a soma de duas bolas retiradas com reposição e as bolas são e , então os possíveis valores são:

Note que , a ordem importa. Então a gente tem combinações de resultados pra retirada das duas bolas.

Desse jeito a gente tem que os possíveis valores de são: .

Nossa variável é uma v.a. discreta, concorda? Seus possíveis valores são números fixos, não tem como a soma das duas bolas resultar em !

Pra montar a função de probabilidade de uma v.a. discreta, a gente precisa montar aquela tabelinha, com os possíveis valores de e a probabilidade de cada um desses valores acontecer.

Os possíveis valores a gente já tem: .

Agora falta calcular a probabilidade de cada um, que é tranquilo.

Vamos começar por .

A soma das duas bolas só resulta em em uma das combinações de bolas, quando sai , daí:

Pensando dessa mesma forma a gente consegue todas as prob. que a gente quer.

Você pode até conferir se tá tudo certin, é só ver se a soma de todas as probabilidades dá .

Você pode deixar sua resposta final assim, ou se tiver com tempo sobrando, colocar arrumado numa tabela maneira.

Po, agora vai ser sem reposição, o que que muda? Muda que resultados como e não vão ser possíveis, certo?

Então os únicos resultados possíveis são:

E assim, os possíveis resultados pra nossa v.a. soma das duas bolas, vai ser:

Agora é o mesmo esquema pra calcular a probabilidade de cada resultado possível de .

É isso aí, dá pra você organizar numa tabela se preferir.

Função de distribuição acumulada é aquela que parece uma escada, que sempre que você chega num possível valor de você sobe (acumula) o valor da probabilidade desse valor de .

Pra primeira situação, com reposição, ficaria:

Ali quando , sobe para , depois em

E por aí em diante, acumulando os valores, até chegar em .

Para o caso sem reposição, o gráfico fica assim:

Subindo em cada valor de .

(a)

O que que uma função precisa pra ser considerada uma função de probabilidade? Isso você tem que saber, fundamental... a principal características dessas funções é que a integral ou o somatório delas tem que ser .

Nesse caso, como é uma função discreta (para valores fixos), não faz sentido integrar, então vamos fazer um somatório do valor dessa função, substituindo. E vamos igualar a , assim a gente descobre

Primeiro vamos substituir os valores de na função.

Somando agora todas essas parcelas, a gente tem que o somatório total é:

Agora é só igualar isso a pra descobrir o valor de .

(b)

Como essa função é discreta, a gente sabe que nosso gráfico da acumulada vai ser aquela escadinha, concorda? Começando do zero e indo até o .

A cada valor de possível ( vamos dar um pequeno salto que representa o valor da probabilidade desse valor . A gente já conhece a probabilidade de cada valor possível de , é só substituir na função de probabilidade que a gente acabou de achar.

Por exemplo...

A nossa função acumulada , vai ser assim..

Nota que no final deu como já era de se esperar.

Agora é só montar o gráfico, vai ficar mais ou menos assim....

Sabemos que

é igual ao salto que a função dá no ponto

E que

Então pelo enunciado sabemos que:

Montando sua tabela de distribuição teremos:

Agora vamos montar a f.d.a de X?

Temos quatro intervalos correto? Eles são

Para calcularmos a f.d.a de cada intervalo desse precisamos:

1º) Lembrar dos dados o enunciado

2º) Lembrar que estamos falando da distribuição acumulada portanto sempre precisamos olhar o intervalo anterior.

Vamos lá?

• Bom, temos apenas três pontos no nosso enunciado e o primeiro é ponto 1 portanto antes dele podemos falar que F(X)=0.
• Lembra da primeira coisa que falamos na questão? Aquele “F(X)-F((X-)” é o salto que a função dá naquele ponto. Sabemos que o “salto” que a função dá no ponto portanto nesse intervalo saltamos do 0 para do
• Fazendo a mesm coisa que fizemos no item anterior podemos ver que nesse intervalo saltamos O erro aqui é pensar que por saltar isso estaremos nesse ponto. Lembre-se queremos a FUNÇÃO ACUMULADA. Nós estávamos no ponto e saltamos Assim chegaremos no ponto: .
• Agora já pegamos o jeito nisso né? Como salto foi de e estávamos no ponto , chegaremos no ponto:

Escrevendo mais bonitinho...

Montando um gráfico:

Sabemos que:

Fazemos um sorteio sem reposição, então podemos tirar as seguintes combinações de bolas:

Certo? E a diferença para cada um desses casos é:

Então nossa variável pode assumir os valores 1 e 2. E quais são as probabilidades de cada um desses valores ocorrem?

Então nossa função de probabilidade fica:

E o gráfico da FDA vai ficar:

Vamos chamar de:

Vamos listar todas as combinações que podemos ter no lançamento das moedas:

Então esses daí são os valores que nossa variável pode assumir. Calculando a probabilidade de cada valor ocorres:

Agora vamos montar a expressão da FDA:

Por que isso? Por que fomos somando os valores com as probabilidades anteriores, ou seja, acumuladas até aquele ponto!

E agora queremos calcular a probabilidade:

Usando a probabilidade complementar, podemos dizer que:

E essa probabilidade aí com sinal de menor ou igual é justamente uma FDA, certo? Usando a expressão que calculamos, sabemos que:

Então: