Teoria

Usamos a probabilidade conjunta quando queremos analisar mais de uma variável aleatória de um evento probabilístico. Por exemplo, imagina que o final de semana chegou e você tá doido por uma praia, mas pra dar praia você precisa dar seguintes condições:

  • Calor;
  • Tempo firme, sem chuva;

Nesse caso se você quiser calcular a probabilidade de dar praia você tem que considerar a probabilidade de fazer calor E não chover, então você tem que considerar uma variável aleatória bidimensional no seu cálculo de probabilidade! 😱

Mas sem desespero! vamos entender melhor como funciona essa Distribuição da Probabilidade Conjunta?!

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Probabilidade Conjunta

Pra a gente aprender na prática como funciona a probabilidade conjunta a gente vai usar um exemplo! Imagina que você não aguenta mais essa vida de só estudar e quer encontrar um amor! 😍

Mas você é exigente e quer que essa pessoa tenha no máximo 2 defeitos e 3 qualidades! Nesse caso podemos escrever as variáveis da seguinte forma:

ú
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Podemos atribuir valores a essa variável:

Ou seja:

Onde e são os possíveis valores de e .

Você também pode conferir esse conteúdo em vídeo:

Como Calcular a Probabilidade Conjunta

A primeira coisa que precisamos pra calcular a probabilidade conjunta é de todas as combinações possíveis entre e . O melhor jeito de organizar dados de variáveis bidimensionais é usando uma tabela como a abaixo.

Combinações da variável bidimensional
Combinações da variável bidimensional

Agora é só cruzar os dados! Nesse caso a probabilidade de alguém ter qualidades e defeitos é de . E a probabilidade da pessoa ter zero defeitos e qualidades é de . Mas a análise não é tão simples assim, também temos que considerar a distribuição marginal!

Distribuição Marginal

A última linha e coluna da tabela acima representa a distribuição marginal, essa distribuição define a distribuição individual de cada característica. Isso é:

nos diz os valores totais da probabilidade de assumir cada um de seus valores possíveis. Então, por exemplo: é a probabilidade total de uma pessoa ter nenhum defeito, tendo ou qualidades. O mesmo raciocínio serve pra característica .

Beleza, e se agora eu quisesse saber a probabilidade de uma pessoa ter qualidades sabendo que ela tem defeitos? Nesse caso usamos a probabilidade condicional! Fazemos:

O raciocínio e a fórmula são as mesmas.

Essa interseção que a gente tem ali é a probabilidade da pessoa ter dois defeitos e três qualidades ao mesmo tempo. E essa probabilidade tá na nossa tabela! É o valor do cruzamento da linha com a coluna .


A probabilidade tá na nossa distribuição marginal, é o valor final da linha do . Dessa forma:

Independência das Variáveis Bidimensionais

Para verificarmos a independência das variáveis bidimensionais usamos a mesma lógica da independência dos eventos:

Nesse caso se e são independentes, então:

Então por exemplo, se então e são independentes? NÃO! Você tem que tentar todas as combinações possíveis, porque se isso não valer pra caso então já não são independentes.

Prontinho! Agora vamos praticar com exercícios?

Como Calcular a Probabilidade Conjunta

Independência das Variáveis Bidimensionais

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