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Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Teoria

O que fazer quando eu tenho duas variáveis que se comportam em conjunto?

Exemplo: Preço de compra e de venda de um produto

Como estudar esse comportamento?

É isso que vamos ver agora, para o caso em que esse comportamento é descrito por uma função contínua.

Vamos ter distribuições de densidade conjuntas que vão descrever o comportamento conjunto das duas variáveis, vamos calcular distribuições de probabilidades condicionais, que avalia o efeito de uma variável sobre a outra e distribuições de prob. Marginais, que identifica o comportamento apenas de uma variável, sem o efeito da outra.

Funções de Densidade Conjuntas

A gente vai ter variáveis bidimensionais ( X , Y ) que vão ser expressas por funções de probabilidade conjuntas f ( x , y ) .

Essas funções tem que satisfazer duas condições:

  • f x , y ≥ 0
  • ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x d y   = 1

Exemplo: num concurso público para engenheiros, a prova de conhecimentos consta de uma parte teórica e outra prática, que devem ser feitas nessa ordem e separadamente. O prazo máximo pra completar cada prova é de 1 hora. Sejam Y o tempo gasto na parte teórica e X o gasto na prática, ambos em horas. Sabemos que a função de densidade conjunta é:

f x , y = 4 . x . y     ,       o n d e   0 ≤ x ≤ 1   e   0 ≤ y ≤ 1

Primeiro vamos verificar que essa função é de densidade conjunta:

∫ 0 1 ∫ 0 1 4 . x . y     d y d x   = ∫ 0 1 4 . x . y 2 2 0 1   d x = ∫ 0 1 4 . x . 1 2   d x = 2 . x 2 2 0 1 = 1

Beleza, verificado!

Vamos avançar um pouco mais!

Distribuições Marginais e Condicionais

Distribuição Marginal

Vamos chamar de f x e f y as funções de densidade marginais de X e Y , respectivamente. Vamos ter que:

f x x = ∫ - ∞ ∞ f x , y   d y

E:

f y y = ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x

Percebeu? Macete é, pra X integra em d y e pra Y em d x .

Voltando ao exemplo: vamos calcular as marginais.

f x x = ∫ 0 1 4 . x . y   d y = 2 . x     ,     s e   0 ≤ x ≤ 1

f y y = ∫ 0 1 4 . x . y   d x = 2 . y     ,     s e   0 ≤ y ≤ 1

Distribuições Condicionais

A função de densidade condicional de, por exemplo, X dado que Y = y será:

f x y = f x , y f y y

Viu? Depende da função de densidade conjunta e da marginal de Y .

O contrário, condicional de Y , dado X = x seria:

f y x = f x , y f x ( x )

Voltando ao exemplo: vamos calcular f y x .

f y x = 4 . x . y 2 . x = 2 . y

Beleza?

As distribuições marginais também são úteis para avaliar se as variáveis são independentes ou não:

Critério de Independência: as variáveis serão independentes se:

f x , y = f x x × f y ( y )

Distribuições Marginais e Condicionais

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

PUCRIO-P2-2014.1-3

Sejam X e Y v.a.’s contínuas com densidade conjunta:

f x , y = 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3   ,     p a r a   x ≥ 0 ,   y ≥ 0

  1. Encontre a constante " c " que faz desta expressão uma densidade.
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .

Passo 1

Pra que seja uma função de densidade, a integral da função tem que ser 1 .

∫ ∫ 1 4 . c . x ² . y ² . e - x 3 - y 3 d x d y

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y ∫ 0 + ∞ x ² . e - x 3   d x

Passo 2

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso... começando pelo x :

u = - x 3

d u = - 3 x ²   d x

x ²   d x = - d u 3

Assim:

∫     x ² . e - x 3   d x = ∫     - 1 3 . e u d u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e u

∫     x ² . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3

E com os limites de integração:

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = - 1 3 . e - x 3 0 + ∞

∫ 0 + ∞   x 2 . e - x 3   d x = 0 - - 1 3 = 1 3

Passo 3

Note que a integral em y fica assim:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c ∫ 0 + ∞ y ² . e - y 3   d y

Só que a parte de dentro é igualzinho a integral que calculamos para x (trocando x por y ). Então:

∫ 0 + ∞ 1 4 . c . y ² . e - y 3   d y = 1 4 . c . 1 3 = c 12

Assim, como a gente viu, o produto das duas tem que ser igual a 1 .

c 12 . 1 3 = 1

c = 36

f x , y = 9 . x ² . y ² . e - x 3 - y 3

Passo 4

(b)

Densidade marginal de X é só resolver a integral abaixo.

f x x = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d y

Veja que estou integrando em y , pra fazer a marginal de x .

Vamos usar uma substituição simples aí pra integrar isso...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 y 2 d y

Vou substituir isso dentro da integral.

Quando y = 0 → u = - x 3 e quando y = + ∞ → u = - ∞ .

f x x = ∫ - x ³ - ∞ - 3 x ² . e u   d u

    = - 3 x ² . e u - x ³ - ∞

                = - 3 x ² e ∞ - - 3 x ² . e - x 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 x ² . e - x 3    

Passo 5

Pra marginal de Y é a mesma ideia.

f y y = ∫ 0 + ∞ 9 x ² y ² . e - x 3 - y 3   d x

Vamos usar uma substituição simples aí de novo...

            u = - x 3 - y 3

d u = - 3 x ²   d x

Quando x = 0 → u = - y 3 e quando x = + ∞ → u = - ∞ .

f y y = ∫ - y ³ - ∞ - 3 y ² . e u   d u

    = - 3 y ² . e u - y ³ - ∞

                  = - 3 y ² e ∞ - - 3 y ² . e - y 3

Como 2 x e ∞ = 0 :

= 3 y ² . e - y 3    

Resposta

a   c = 36

b   f x = 3 x ² . e - x 3     e       f y = 3 y ² . e - y 3

Exercício Resolvido #2

PUCRIO-P2-2013.2-5(a)(b)

Sejam X e Y v.a. contínuas com densidade conjunta:

f x , y = - 3 4 y + 2 x y       ,     o n d e   0 ≤ x ≤ 2   e   0 ≤ y ≤ 1

Dados:

Marginal de X : f x = x - 1 2

Marginal de Y : f y = 4 y - 3 2 y

Pede-se:

  1. Densidade condicional de Y dado X = x .
  2. Média condicional de Y   dado X = x , e calcule o valor quando x = 1,5 .

Passo 1

(a)

Pra resolver cada um desses itens vai ser basicamente aplicar fórmula, então vamos lá.

Pra calcular a densidade condicional f Y X = x , vamos aplicar:

f Y X = x = f x , y f x

Os dois já são dados do problema, só fazer conta.

Passo 2

Vamos as contas...

= - 3 4 y + 2 x y x - 1 2

= - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1 2

= 2 × - 3 4 y + 2 x y 2 x - 1

= - 6 4 y + 4 x y 2 x - 1  

= - 6 y + 16 x y 4 2 x - 1

= - 3 y + 8 x y 2 2 x - 1  

= - 3 y + 8 x y 4 x - 2

Tá bom por aí já.

Passo 3

(b)

Agora a fórmula é:

E Y X = x = ∫ 0 1 y . f ( Y | X = x )   d y

De 0 a 1 porque esses são os limites de y do enunciado.

Esse valor de dentro da integral foi o que a gente usou no item anterior.

= ∫ 0 1 y . - 3 y + 8 x y 4 x - 2   d y

= 1 4 x - 2 ∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y ² d y

Passo 4

Vamos integrar...

∫ 0 1 - 3 y 3 2 + 8 x y 2 d y =

= - 3 × 2 5 y 5 2 + 8 x 3 y 3 0 1

= - 6 5 + 8 x 3

E Y X = x = - 6 5 + 8 x 3 4 x - 2

Não pode esquecer desse denominador aí que eu tinha tirado da integral. Vou simplificar.

= - 3 × 6 + 5 × 8 x 15 4 x - 2

= - 18 + 40 x 60 x - 30

= 20 x - 9 30 x - 15

Passo 5

Agora podemos calcular pra quando x = 1,5 .

E Y X = 1,5 = 20 × 1,5 - 9 30 × 1,5 - 15

= 0,7

Resposta

a   - 3 y + 8 x y 4 x - 2

b   20 x - 9 30 x - 15       ,     0,7

Exercício Resolvido #3

PUCRIO-P2-2014.2-2(c)

Suponha p e q dois valores de probabilidade conhecidos. Assumindo duas v.a.’s discretas com distribuição conjunta f x , y = c . p x . q y , para x ∈ ( 1,2 , … ) , e Y ∈ ( 0,1 ) . Mostre como encontrar:

  1. O valor de c , em função de p e q , para que f seja uma distribuição conjunta. E escreva a função conjunta.
  2. A marginal de X   e de Y e indique qual o nome (modelo) destas distribuições.
  3. Podemos afirmar que X e Y são independentes? Justifique sua resposta.

Passo 1

Para uma função ser de distribuição conjunta deve ser:

  • f x , y ≥ 0
  • ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x , y   d x d y   = 1

Vamos usar essa segunda ideia aí para determinar nossa constante.

Só que como estamos com v.a.’s discretas, não faz sentido integrar, então teremos:

∑ x = 1 ∞ ∑ y = 0 1 c . p x q y = 1

c   ∑ x = 1 ∞ p x   ∑ y = 0 1 q y = 1

Passo 2

Lembra aquele macete que eu passei sobre séries geométricas e como calcular o somatório delas?

Vai ser importante agora;

∑ k = 1 n a k = a 1 - a

Se aplicarmos isso para os dois casos que temos, vamos ficar com:

∑ x = 1 n p x = p 1 - p

Passo 3

Para o outro somatório, fica ainda mais fácil:

∑ y = 0 1 q y = 1 + q

Agora só voltar para a ideia do resultado dos somatórios ser 1 .

c . p 1 - p . ( 1 + q ) = 1

c = 1 - p p ( 1 + q )

Passo 4

(b)

Nossa função conjunta é:

f x , y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

Para calcular as marginais f ( x ) e f y . Vamos fazer assim:

f x = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . ∑ y = 0 1 q y

f x = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . 1 + q

Cortando as coisas aí...

f x = 1 - p p . p x

Passo 5

Fazendo a mesma ideia para a marginal de Y .

f y = 1 - p p ( 1 + q ) . q y . ∑ x = 1 n p x

f y = 1 - p p ( 1 + q ) . q y . p 1 - p

Cortando as coisas aí...

f y = 1 1 + q . q y

Se você notar direitinho, essas duas funções marginais se assemelham a função de probabilidade da distribuição geométrica.

Passo 6

(c)

Pra fechar com chave de ouro, pra ser independente a gente tem que verificar se a afirmativa abaixo é verdadeira:

f x , y = f x . f y

Verificando:

f x , y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

f x = 1 - p p . p x

f y = 1 1 + q . q y

Vamos ver:

f x . f y = ( 1 - p ) p . p x . 1 1 + q q y

f x . f y = 1 - p p ( 1 + q ) . p x . q y

f x . f y = f ( x , y )

Sucesssoo! As variáveis são independentes! =)

Resposta

a   c = 1 - p p ( 1 + q )

b   f x = 1 - p p . p x     ,       f y = 1 1 + q . q y

c   S ã o   i n d e p e n d e n t e s

Exercício Resolvido #4

Probabilidade Conjunta

f x , y = 1 k 1 4 x 2 3 y > 0   ,       q u a l q u e r   q u e   s e j a   x = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

                                                                                                              q u a l q u e r   q u e   s e j a   y = 3,4 , … ,   s e ,   s o m e n t e   s e   k > 0

  1. Determine a constante " k " para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Encontre a densidade marginal de X e de Y .
  3. Encontre a densidade condicional de X dado Y = y .
  4. X e Y são independentes? Por quê? Justifique.

Passo 1

(a)

Pra calcular a constante é só integrar e igualar a 1 que é a condição para ser uma função de probabilidade.

∫ 3 + ∞ ∫ 3 + ∞ 1 k 1 4 x 2 3 y   d y d x

Mas integrar isso é muito difícil, então vamos usar somatórios no lugar das integrais e usar aquela ideia da série geométrica.

1 k ∑ i = 3 ∞ 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y

A gente sabe que:

∑ i = 0 ∞ a k = 1 + a + a ² + … = 1 1 - a

∑ i = 1 ∞ a k = a + a 2 + a 3 + … = a 1 + a + a 2 + … = a 1 - a

∑ i = 2 ∞ a k = a ² + a ³ + a 4 + … = a 2 1 + a + a 2 + … = a 2 1 - a

∑ i = 3 ∞ a k = a ³ + a 4 + a 5 + … = a 3 1 + a + a 2 + … = a 3 1 - a

Passo 2

Aplicando isso que a gente viu no caso:

∑ i = 3 ∞ 1 4 x = 1 4 3 1 - 1 4 = 1 4 3 3 4 = 1 64 × 4 3 = 1 48

∑ i = 3 ∞ 2 3 y = 2 3 3 1 - 2 3 = 8 27 × 3 = 8 9

Juntando tudo teremos:

1 k × 1 48 × 8 9 = 1 k × 1 54 = 1 54 k

E isso tem que ser igual a 1 :

k = 1 54

Note que, assim, teremos

1 k = 54

Passo 3

(b)

Para a densidade marginal de Y :

f y = 54 . 2 3 y ∑ i = 3 ∞ 1 4 x

Substituindo o valor do somatório que nós já calculamos antes.

f y = 54 . 2 3 y . 1 48

f y = 9 8 . 2 3 y

Passo 4

Já para a densidade de X :

f x = 54 . 1 4 x ∑ i = 3 ∞ 2 3 y

= 54 . 1 4 x . 8 9

f x = 48 . 1 4 x

Passo 5

(c)

A prob. condicional que a gente quer é:

f x y = f x , y f y

A gente já tem os dois dados que a gente precisa:

f x , y = 54 1 4 x 2 3 y

E:

f y = 9 8 . 2 3 y

Passo 6

Agora só aplicar:

f X Y = y = 54 1 4 x 2 3 y 9 8   . 2 3 y

Cortando ali o que pode:

f X Y = y = 54 . 8 9 1 4 x

f X Y = y = 48 . 1 4 x

Passo 7

(d)

Pras variáveis serem independentes elas têm que verificar a seguinte condição:

f x , y = f x . f y

f x . f y = 48 . 1 4 x × 9 8 . 2 3 y

f x . f y = 54 . 1 4 x . 2 3 y

que é igual a função f ( x , y ) inicialmente dada. Isso significa que as variáveis são independentes.

Resposta

a   k = 1 54

b   f y = 9 8 . 2 3 y e     f x = 48 . 1 4 x

c f X Y = y =   48 . 1 4 x

d   são independentes

Exercício Resolvido #5

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Seja ( X , Y ) um vetor bivariado de v.a.’s contínuas com a seguinte função:

f x , y = k . y . e - y ² 3 x   c o m   y ≥ 0   e   0 ≤ x ≤ 1

Calcule o valor da constante k para que f ( x , y ) seja uma função de densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y .

Passo 1

Para isso aí ser função de densidade, temos que garantir que a integral dupla da função em todo o seu domínio dê 1 , e temos que garantir que a função seja sempre maior ou igual a zero também.

Para f ( x , y ) ≥ 0 , basta termos k ≥ 0.

Agora vamos partir pro cálculo da integral.

Passo 2

∫ 0 ∞ ∫ 0 1 k . y . e - y ² 3 x d x d y = 1

Vamos resolver a integral separadamente. Primeiro a que está em relação a x :

∫ 0 1 k . y . e - y ² 3 x d x = ∫ 0 1 k . y . e - y 2 3 x - 1 2   d x = 2 k y e - y ² x 1 / 2 3 0 1 = 2 k y e - y ² 3

Agora resolvemos a integral de fora:

∫ 0 ∞ 2 k y e - y ² 3 d y

Fazendo uma substituição simples u = - y ² , vamos ter d u = - 2 y d y → y d y = - 1 2 d u , substituindo esses valores na integral...

∫ 2 k e u 3 - 1 2 d u = ∫ - k e u 3 d u = - k e u 3 → r e s u b s t i t u i n d o → - k e - y ² 3 0 ∞ = 0 - - k 3 = k 3

Resolvemos nossa integral! E como vimos, ela tem que ser igual a 1 . Então...

k 3 = 1

k = 3

Resposta

k = 3

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