Aproximando a Binominal pela Normal
Teoria
Um caso muuuito especial da utilização do teorema central do limite é a aproximação da Binomial pela Normal.
Por quê? Boa pergunta, vem comigo!
De acordo com o teorema, se eu tenho uma soma de variáveis com mesma distribuição eu posso aproximar essa soma por uma normal, certo?
Agora eu te pergunto, o que é a Binomial mesmo ?
A distribuição Binomial é uma soma de várias variáveis de Bernoulli. Lembra que eu te disse lá atrás que teríamos Binomial sempre que tivéssemos a repetição de eventos de Bernoulli ?
Com isso, se:
Teremos:
E poderemos aproximar essa v.a. por distribuição Normal, com .
Só um bizu importante: temos que tomar um cuidado quando formos calcular as probabilidades. Como estamos passando de uma distribuição discreta pra uma distribuição contínua, vamos fazer uma correção pra melhorar essa aproximação:
Sempre que a gente aproximar uma distribuição discreta por uma Normal, vamos fazer essa correção. Essa correção é chamada correção de continuidade.
Exemplo: Se tenho uma variável que segue o modelo Binomial com e . Qual seria a probabilidade ?
Solução: Bom,
De acordo com as fórmulas da Binomial,
Como é grande, podemos aproximar por uma Normal , então, vamos usar a correção de continuidade:
Então, a gente vai ter
OBS: Cara, muito cuidado pra não confundir na hora das contas com .
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFRJ-PF-2015.1.-2B
O tempo de travessia de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores , e minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretanto, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo de atrasos por ano.
Calcule a probabilidade de que, num ano de trabalho, Carlos não consiga cumprir com a política de tolerância da empresa com respeito a atrasos, admitindo que haja dias de trabalho por ano. Você acha que Carlos conseguirá se manter no emprego?
Passo 1
Vamos considerar dias de trabalho... pra ele não cumprir a política de tolerância da empresa ele tem que faltar mais do que dos dias...
Se:
Pra ele ser demitido, a gente calcula a prob:
Beleza?
Passo 2
Vamos identificar qual a distribuição de então...
A gente tem um total de dias e sabe que a prob. dele se atrasar em qualquer um dos dias é que foi o que a gente calculou em (a).
Se eu quero medir o número de dias que ele vai faltar dentre os , eu estou repetindo o experimento de um dia trezentas vezes, concorda? Com a mesma prob. de sucesso (se atrasar). Isso é Binomial!
Passo 3
Só que nosso é muito grande... quando isso acontece, a gente pode aproximar a binomial pela Normal, tá lembrado disso?
Com:
E:
Daí:
E vamos calcular ? Não né? Lembra? Correção de continuidade.
Vamos calcular .
Passo 4
Agora sim podemos calcular:
Padronizando:
Usando nossos conhecimentos da Normal:
Olhando na tabela:
Daí:
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFRJ-P1-2014.1-3c
Ocorem, em média, 10 desintegrações por minuto numa amostra de material radioativo. Suponhamos que o número, , de desintegrações por minuto seja uma variável aleatória de Poisson e que seja o intervalo de tempo em minutos entre duas desintegrações sucessivas.
(c) Suponha que foram testadas independentemente 30 destas amostras e seja o número de amostras para as quais não houve desintegrações antes de 6 segundos. Forneça a expressão matemática da função de probabilidade de , a esperança de e a variância de . Calcule também, usando a aproximação pela lei Normal, .
Passo 1
Bom, agora é como se fossemos representar esse experimento 30 vezes.
E só temos duas possibilidades: sucesso, que é quando não acontecem desintegrações nesse intervalo, e fracasso quando acontecem.
A gente sabe que a probabilidade de sucesso que a gente já calculou antes é:
Então, para , a gente tem um caso de Binomial.
Então a função de probabilidade genérica pra é:
Passo 2
Calcular e .
Tranquilo, só aplicar as fórmulas da binomial.
Passo 3
Bom, o que a gente vai ter que fazer é aquela aproximação da Binomial pela Normal.
Com isso, a gente vai ter que:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular Fazendo o processo de padronização da Normal e levando em consideração a correção da continuidade.
Procurando na tabela, você vai encontrar:
Resposta
Exercício Resolvido #3
L ista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.
O Comitê organizador de um congresso científico contratou 5 hotéis da cidade onde vai se realizar esse evento para hospedarem os congressistas inscritos. Cada um desses hotéis só têm quartos individuais e só poderá hospedar os participantes do congresso durante esse período. Admita que cada congressista escolherá de forma aleatória para qual dos hotéis ele vai se dirigir. O Hotel é um desses 5 hotéis e tem capacidade para acomodar pessoas. (a) Qual a probabilidade de que o Hotel consiga acomodar todos os congressistas que o procurarem?
Passo 1
O enunciado diz que os congressistas vão escolher de forma aleatória em qual hotel vão se hospedar entre os hotéis totais, então a probabilidade do Hotel ser escolhido por um congressista é de em , ou seja:
Vamos chamar essa aí da nossa probabilidade de sucesso, que ocorre quando um congressista se hospeda no Hotel .
Nós vamos ter congressistas que podem se hospedar ou não no Hotel , ou seja, estão sujeitos a um sucesso (se hospedar) e a um fracasso (não se hospedar). E qual distribuição que segue essa descrição? Várias repetições de experimento do tipo sucesso ou fracasso? É uma Binomial, certo?! E os parâmetros da nossa Binomial são justamente o que calculamos (a probabilidade de sucesso) e os congressistas (número de repetições).
Então denotando o número de congressistas que se dirigem ao Hotel por :
E o que a questão pede é a probabilidade do Hotel conseguir acomodar todos os congressistas que o procurarem, lembrando que eles podem acomodar um total de pessoas, ou seja:
Queremos que o número de congressistas que procurarem o hotel não ultrapasse a lotação máxima, para que assim todos sejam acomodados!
Passo 2
Mas calcular isso aí pela distribuição Binomial vai ser chatinho, hein! Vamos lembrar aqui então de que quando temos uma Binomial com mais de repetições, podemos aproximá-la por uma distribuição Normal, então:
Onde e são a esperança e variância da Binomial. Elas são dadas pelas seguintes fórmulas:
Então:
Passo 3
Agora antes de calcularmos a probabilidade, temos que lembrar que, como fizemos essa aproximação, devemos corrigir o erro de continuidade!
Então queremos calcular:
Padronizando, pois aproximamos pela Normal:
Procurando esse valor na tabela da Normal:
Resposta
Exercício Resolvido #4
L ista de Exercício Probest – Cap 6, IM – UFRJ.
Em um determinado município a prefeitura está considerando a possibilidade de adotar um pacote de medidas que visam proteger o ecossistema da região. Foram sorteadas ao acaso habitantes desse município para compor uma Comissão que irá examinar esse assunto. O critério de decisão é adotar o pacote se pelo menos membros da Comissão se manifestarem favoravelmente. Admita que 75% dos habitantes do município são favoráveis ao pacote.
(a) Calcule a probabilidade de que ele seja aprovado, se
Passo 1
Cada integrante da comissão vai poder ser favorável ou não ao pacote (sucesso x fracasso). E temos 30 integrantes, então esse experimento de sucesso x fracasso vai ter 30 repetições. Opa! Estamos numa Binomial, certo? Os parâmetros vão ser:
Já que a chance de um habitante ser favorável ao pacote é de . E o outro parâmetro:
Então denotando o número de integrantes favoráveis por :
E queremos calcular a probabilidade do projeto ser aprovado, ou seja, de pelo menos 25 integrantes serem a favor:
Passo 2
Como temos , podemos aproximar essa Binomial por uma Normal, onde os parâmetros são a esperança e variância da Binomial, dadas por:
Então a aproximação fica:
Mas precisamos corrigir o erro de continuidade da probabilidade que queremos antes de padronizá-la:
Então vamos padronizar:
Usando a probabilidade complementar:
Procurando esse cara na tabela da normal vemos que: