Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 13
13 – Calcule a energia cinética média do oscilador harmônico aproveitando as relações na Tabela 9.1.
Passo 1
Para calcularmos a energia cinética média de um oscilador harmônico, vamos utilizar a eq. 9.31 do Atkins usada para o cálculo de propriedades de osciladores, onde se é conhecido as funções de onda. A expressão da eq. 9.31 é a seguinte:
Onde, Ω é uma propriedade qualquer do oscilador harmônico.
Passo 2
Com base na Eq1 apresentada antes, a energia cinética média do oscilador harmônico pode ser determinada pela seguinte expressão:
A energia E pode ser determinada em termos do momento linear da partícula p, da seguinte forma
Sendo o momento linear expresso como
Assim
Sendo
Assim,
Passo 3
Vamos expressar o deslocamento x da partícula em termos do parâmetro y, que é o deslocamento da partícula normalizado, expresso como:
Onde, α é um parâmetro definido como:
Pela relação mostrada antes
Assim, substituindo na expressão da energia E:
Portanto,
Passo 4
A integral definida para o cálculo da energia cinética média será então
A função de onda, ψ, é definida para um oscilador harmônico como:
Assim,
Lembrando que H é o polinômio de Hermite, que é uma função que depende de y, assim a derivada segunda da função de onda resultará na seguinte relação final:
Pela Tabela 9.1 temos que:
Consequentemente,
Passo 5
Substituindo na expressão da energia cinética média:
Sendo
Assim,
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Fazendo,
Assim, abrindo a integral:
Pelo comentário 9.2, encontrado na pág. 263 do cap. 9 do Atkins, temos que:
Com essas relações mostradas, as integrais serão:
Consequentemente:
Passo 7
Assim, para a energia cinética média:
Assim,
Pelo exemplo 9.3 do Atkins:
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