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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 13a

13a – Escreva os determinantes seculares para (a) o antreceno, (b) o fenantreno, admitindo as aproximações de Hückel e usando os orbitais C2p como base.

Passo 1

Vamos começar revendo como se escreve um determinante secular seguindo a aproximação de Hückel.

O determinante secular pela aproximação de Hückel tem a seguinte forma:

x 1 1 x 0 … 1 … 0 1 0 0 0 1 … … x 1 … … … 0 … … … … 1 0 … … 0 … … 1 1 x

Onde,

x = α - E β

O determinante tem a forma de uma matriz N x N, onde N é o nº de átomos de carbono na molécula do composto, para este caso.

Passo 2

Vamos agora contabilizar os átomos de carbono nas moléculas do antraceno e fenantreno.

A molécula de antraceno é:

Você pode ver pela imagem acima que na molécula do antraceno tem-se 14 átomos de carbono, logo o determinante secular com base nas aproximações de Hückel é:

x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x

Lembrando que

x = α - E β

Passo 3

Vamos agora para o antraceno.

A molécula de fenantreno é dada por:

Esta molécula também tem 14 átomos de carbono, assim:

x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x

x = α - E β

Resposta

Antraceno e Fenantreno:

x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x 1 1 x 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 x 1 1 x 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 x 1 0 1 0 x 1 1 x

x = α - E β

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