Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 23

23 – Verifique que os harmônicos esféricos (a) Y0,0, (b) Y2,-1 e (c) Y3,+3 satisfazem à equação de Schrödinger de uma partícula que tem movimento de rotação em três dimensões, sobre uma esfera, e ache a energia e o momento angular em cada caso.

Passo 1

Para esse problema vamos ter que resolver a tão famosa eq. de Schrödinger.

Vamos relembrar da eq. de Schrödinger que é:

- ħ 2 2 m ∇ 2 ψ + V = E ψ                       E q 1

Para uma partícula confinada em movimento livre sobre a superfície de uma esfera, a energia potencial V é nula

V = 0

Assim,

- ħ 2 2 m ∇ 2 ψ = E ψ

Onde, pela tabela 8.1 do Atkins, em coordenadas esféricas:

∇ 2 ψ = 1 r ∂ 2 r ψ ∂ r 2 + 1 r 2 Λ 2 ψ                     E q 2

Onde, Λ2 é a função legendriano (Função de Legendre) que é definido por:

Λ 2 = 1 s e n 2 θ   ∂ 2 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ ∂ θ

Passo 2

Vamos pegar novamente a Eq2 e definir quem será a função legendriano em termos da energia E:

∇ 2 ψ = 1 r ∂ 2 r ψ ∂ r 2 + 1 r 2 Λ 2 ψ

Considerando o raio r constante, então a derivada parcial segunda da equação acima acaba se anulando e vamos ter que:

∇ 2 ψ = 1 r 2 Λ 2 ψ

Substituindo essa relação na eq. de Schrödinger:

- ħ 2 2 m 1 r 2 Λ 2 ψ = E ψ

- ħ 2 2 m r 2 Λ 2 ψ = E ψ

Relembrando de momento de inercia, I

I = m r 2

Assim,

- ħ 2 2 I Λ 2 ψ = E ψ

Isolando o legendriano:

Λ 2 ψ = - 2 I E ψ ħ 2                     E q 3

Assim, para sabermos se os harmônicos esféricos satisfazem a eq. de Schrödinger, basta pegar as funções correspondentes para cada harmônico encontrados na tabela 9.3 e substituir a função de onda ψ por suas respectivas funções.

ψ = Y I , m I

Passo 3

A)

Começando pelo harmônico esférico Y0,0, isto é, I = 0 e mI = 0.

A função legendriano para esse harmônico é:

Λ 2 Y 0,0 = 1 s e n 2 θ   ∂ 2 Y 0,0 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 0,0 ∂ θ

Esse harmônico esférico possui um valor constante pela Tabela 9.3, não sendo função nem do ângulo θ e nem do ângulo φ, assim

∂ 2 Y 0,0 ∂ ϕ 2 = ∂ Y 0,0 ∂ θ = 0

Portanto,

Λ 2 Y 0,0 = 0

E pela eq.3, temos que:

E = 0

Passo 4

B)

Para Y2, -1:

Λ 2 Y 2 , - 1 = 1 s e n 2 θ   ∂ 2 Y 2 , - 1 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 2 , - 1 ∂ θ                 E q 4

Pela Tabela 9.3:

Y 2 , - 1 = N c o s θ s e n θ e - i ϕ

Calculando as derivadas:

∂ Y 2 , - 1 ∂ θ = ( c o s 2 θ - s e n 2 θ ) N e - i ϕ

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 2 , - 1 ∂ θ = ∂ ∂ θ s e n θ c o s 2 θ - s e n 2 θ N e - i ϕ

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 2 , - 1 ∂ θ = N e - i ϕ ∂ ∂ θ s e n θ c o s 2 θ - s e n 2 θ

∂ ∂ θ s e n θ c o s 2 θ - s e n 2 θ = s e n θ - 4 cos ⁡ θ s e n θ + cos ⁡ θ [ c o s 2 θ - s e n 2 θ ]

Assim,

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 2 , - 1 ∂ θ = N e - i ϕ s e n θ - 4 cos ⁡ θ s e n θ + cos ⁡ θ c o s 2 θ - s e n 2 θ

Simplificando:

cos ⁡ θ c o s 2 θ - s e n 2 θ = c o s 3 θ - cos ⁡ θ s e n 2 θ

Pela propriedade trigonométrica, temos que

c o s 3 θ = cos ⁡ θ c o s 2 θ

Sendo

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Assim,

c o s 3 θ = cos ⁡ θ 1 - s e n 2 θ

Substituindo:

cos ⁡ θ c o s 2 θ - s e n 2 θ = cos ⁡ θ 1 - s e n 2 θ - cos ⁡ θ s e n 2 θ

cos ⁡ θ c o s 2 θ - s e n 2 θ = - 2 cos ⁡ θ s e n 2 θ + cos ⁡ θ

Assim,

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 2 , - 1 ∂ θ = N e - i ϕ s e n θ - 4 cos ⁡ θ s e n θ + - 2 cos ⁡ θ s e n 2 θ + cos ⁡ θ

Passo 5

Calculando a derivada segunda da Eq.4

  ∂ 2 Y 2 , - 1 ∂ ϕ 2 = ∂ 2 ∂ ϕ 2 N c o s θ s e n θ e - i ϕ

∂ 2 Y 2 , - 1 ∂ ϕ 2 = N c o s θ s e n θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 e - i ϕ

∂ 2 ∂ ϕ 2 e - i ϕ = ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ e - i ϕ  

∂ ∂ ϕ e - i ϕ = - i e - i ϕ

∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ e - i ϕ = ∂ ∂ ϕ - i e - i ϕ

∂ ∂ ϕ - i e - i ϕ = i 2 e - i ϕ

Lembrando que o número imaginário i é definido por:

i 2 = - 1

Logo,

∂ 2 ∂ ϕ 2 e - i ϕ = - e - i ϕ

Assim,

∂ 2 Y 2 , - 1 ∂ ϕ 2 = - N c o s θ s e n θ e - i ϕ

Passo 6

Substituindo as derivadas na Eq4:

Λ 2 Y 2 , - 1 = 1 s e n 2 θ ( - N c o s θ s e n θ e - i ϕ ) + 1 s e n θ N e - i ϕ s e n θ - 4 cos ⁡ θ s e n θ - 2 cos ⁡ θ s e n 2 θ + cos ⁡ θ

Simplificando a eq. acima:

Λ 2 Y 2 , - 1 = - N c o s θ e - i ϕ s e n θ + N e - i ϕ - 4 cos ⁡ θ s e n θ - 2 cos ⁡ θ s e n θ + cos ⁡ θ s e n θ

Λ 2 Y 2 , - 1 = - N c o s θ e - i ϕ s e n θ + N e - i ϕ - 6 cos ⁡ θ s e n θ + cos ⁡ θ s e n θ

Λ 2 Y 2 , - 1 = - N e - i ϕ c o s θ s e n θ - N e - i ϕ 6 cos ⁡ θ s e n θ + N e - i ϕ cos ⁡ θ s e n θ

Λ 2 Y 2 , - 1 = - N e - i ϕ 6 cos ⁡ θ s e n θ

Λ 2 Y 2 , - 1 = - 6 N e - i ϕ cos ⁡ θ s e n θ

Que é exatamente a função do harmônico esférico:

Y 2 , - 1 = N e - i ϕ cos ⁡ θ s e n θ

Assim,

Λ 2 Y 2 , - 1 = - 6 Y 2 , - 1

Passo 7

Voltando na Eq3:

Λ 2 ψ = - 2 I E ψ ħ 2

Onde,

ψ = Y 2 , - 1

Λ 2 Y 2 , - 1 = - 2 I E ħ 2 Y 2 , - 1

Substituindo:

- 6 Y 2 , - 1 = - 2 I E ħ 2 Y 2 , - 1

Isolando o termo da energia E:

6 ħ 2 = 2 I E

E = 3 ħ 2 I

Essa é a solução da Eq. de Schrödinger para o harmônico esférico Y2, -1.

Passo 8

C)

Para Y3, +3:

Λ 2 Y 3,3 = 1 s e n 2 θ   ∂ 2 Y 3,3 ∂ ϕ 2 + 1 s e n θ ∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ                 E q 5

Pela Tabela 9.3:

Y 3,3 = N s e n 3 θ e 3 i ϕ

Calculando as derivadas:

∂ Y 3,3 ∂ θ = 3 N s e n 2 θ c o s ( θ ) e 3 i ϕ

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ = ∂ ∂ θ s e n θ 3 N s e n 2 θ cos ⁡ θ e 3 i ϕ

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ = 3 N e 3 i ϕ ∂ ∂ θ s e n 3 θ cos ⁡ θ

∂ ∂ θ s e n 3 θ cos ⁡ θ = 3 s e n 2 θ cos 2 ⁡ θ - s e n 4 θ

∂ ∂ θ s e n 3 θ cos ⁡ θ = s e n 2 θ 3 cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Substituindo,

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ = 3 N e 3 i ϕ s e n 2 θ 3 cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ

Simplificando,

Pela identidade trigonométrica:

c o s 2 θ + s e n 2 θ = 1

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Substituindo:

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ = 3 N e 3 i ϕ s e n 2 θ 3 1 - s e n 2 θ - s e n 2 θ

∂ ∂ θ s e n θ ∂ Y 3,3 ∂ θ = 3 N e 3 i ϕ s e n 2 θ 3 - 4 s e n 2 θ

Passo 9

Calculando a derivada segunda:

∂ 2 Y 3,3 ∂ ϕ 2 = ∂ 2 ∂ ϕ 2 N s e n 3 θ e 3 i ϕ = N s e n 3 θ ∂ 2 ∂ ϕ 2 e 3 i ϕ

∂ 2 ∂ ϕ 2 e 3 i ϕ = ∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ e 3 i ϕ  

∂ ∂ ϕ e 3 i ϕ = 3 i e 3 i ϕ

∂ ∂ ϕ ∂ ∂ ϕ e 3 i ϕ = ∂ ∂ ϕ 3 i e 3 i ϕ

∂ ∂ ϕ 3 i e 3 i ϕ = 9 i 2 e 3 i ϕ

Lembrando que o número imaginário i é definido por:

i 2 = - 1

Logo,

∂ 2 ∂ ϕ 2 e - i ϕ = - 9 e 3 i ϕ

Substituindo:

∂ 2 Y 3,3 ∂ ϕ 2 = - 9 N s e n 3 θ e 3 i ϕ

Passo 10

Pegando as derivadas e substituindo na Eq5:

Λ 2 Y 3,3 = - 9 N s e n 3 θ e 3 i ϕ s e n 2 θ   + 1 s e n θ 3 N e 3 i ϕ s e n 2 θ 3 - 4 s e n 2 θ

Simplificando:

Λ 2 Y 3,3 = - 9 N s e n θ e 3 i ϕ   + 3 N e 3 i ϕ s e n θ 3 - 4 s e n 2 θ

Λ 2 Y 3,3 = 3 N e 3 i ϕ s e n θ - 3 + 3 - 4 s e n 2 θ

Λ 2 Y 3,3 = - 12 N e 3 i ϕ   s e n 3 θ

Lembrando que:

Y 3,3 = N s e n 3 θ e 3 i ϕ

Assim,

Λ 2 Y 3,3 = - 12 Y 3,3

Passo 11

Voltando na Eq3:

Λ 2 ψ = - 2 I E ψ ħ 2

Onde,

ψ = Y 3,3

Λ 2 Y 3,3 = - 2 I E ħ 2 Y 3,3

Substituindo:

- 12 Y 3,3 = - 2 I E ħ 2 Y 2 , - 1

Isolando o termo da energia E:

12 ħ 2 = 2 I E

E = 6 ħ 2 I

Essa é a solução da Eq. de Schrödinger para o harmônico esférico Y3, +3.

Resposta

Para Y0,0:

E = 0

Para Y2,-1:

E = 3 ħ 2 I

Para Y3,3:

E = 6 ħ 2 I

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Qual é a energia no estado fundamental de sete férmions não interagentes idênticos em uma caixa unidimensional de comprimento L? (Como o número quântico associado ao spin pode ter dois valores, cada e
Qual é a energia no estado fundamental de dez bósons não interagindo em uma caixa unidimensional de comprimento L?