Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas Teóricos - Ex. 25

25 – A) Sabendo-se que qualquer operador que representa um observável deve satisfazer à relação de comutação dada pela eq. 8.38, como deve ser o operador posição se o momento linear paralelo ao eixo dos x for representado pelo operador multiplicado por x? Essas escolhas diferentes são ‘representações’ válidas em mecânica quântica.

B) Tendo identificado o operador x nessa representação, como é o operador para 1/x?

Sugestão: Pense em 1/x como x-1.

Passo 1

A)

Na representação do momento, dada pela eq. 8.39 temos que:

Supondo que a posição do operador tem a forma que se segue:

Onde, a é um nº complexo. Então,

Sendo

Logo,

Vamos chegar que

Assim, o operador de x será dado por

Passo 2

B)

O fato que a integração é o processo inverso da diferenciação sugere que na representação do momento temos que

Sendo

Assim,

Nós precisamos confirmar que a relação do operador x-1x = xx-1 = 1.

Usando a regra de diferenciação de integrais de Leibniz:

Assim,

Logo, o operador xx-1 é:

Passo 3

Vamos verificar para x-1x:

Assim,

Logo,

Resposta

A)

B)

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