29 – Uma estrela muito pequena a fria demais para brilhar foi descoberta S. Kulkarni et al. O espectro do corpo sideral exibe indícios da presença de metano que, de acordo com os autores mencionados, não estaria em temperatura muito mais elevada do que 1000 K. A massa da estrela, determinada pelo seu efeito gravitacional sobre uma estrela que a acompanha, é, aproximadamente, 20 vezes a massa de Júpiter. Com essa massa, é muito pouco provável que o corpo seja um planeta. O mais provável é que seja uma estrela anã, castanha, a mais fria que já se observou.

A) Com base em dados termodinâmicos, verifique a estabilidade do metano em temperaturas mais elevadas do que 1000 K.

B) Qual o λmáx dessa estrela?

C) Qual é a densidade de energia da estrela em relação à do Sol (6000 K)?

D) Determine se a estrela terá brilho ou não, estime a fração da densidade de energia da estrela na região visível do espectro.

Vamos escrever a reação de decomposição do metano que é a seguinte:

Nas condições padrões, isto é, na temperatura de 25°C:

Usando estes dados nas condições padrão, vamos determinar a temperatura para qual ΔrG = 0.

Pela eq. 3.52 do Atkins, em condições de pressão constante:

Onde, pela eq. 2.36 do Atkins, a variação de entalpia, para uma temperatura T, pode estimada por:

Sendo Δrcp constante, assim

Pegando a eq. 1:

Separando variáveis:

Integrando em ambos os lados:

Substituindo a variação de entalpia pela eq.2:

Resolvendo as integrais:

Assim,

Como ΔrG = 0, assim

Substituindo os valores:

Você pode perceber que chegamos em uma eq. totalmente não linear para resolvermos e encontrarmos o valor de T. assim, o que você pode fazer é resolver por algum método iterativo, ou, de forma mais prática, utilizar algum software matemático, tal como o Wolfram Alpha, Mathcad ou Matlab. Usando o Wolfram Alpha para resolver a eq. chega-se que:

Consequentemente, par temperaturas acima desse valor, o metano é estável, logo acima de 1000 K, o metano é instável.

B)

O comprimento de onda máximo, λmáx, pode ser estimado usando a expressão calculada no problema 8.10, cuja expressão é:

Para a temperatura de 1000 K:

Convertendo para unidade de nanômetro:

C)

A densidade de energia em relação ao Sol, pode ser estimada com a razão das densidades de energia para a estrela e para o Sol:

Onde, a densidade de energia é dada pela eq. 8.5 do Atkins:

Onde,

-h é a cte de Planck

-c é a velocidade da luz no vácuo

-k é a cte de Botzmann

Assim,

Simplificando:

Sendo

Assim,

Logo,

D)

Pela figura 8.2, o comprimento de onda do espectro visível é entre 700 nm e 420 nm.

Vamos agora encontrar a fração da densidade de energia na região visível do espectro.

Pelas eq’s 8.3 e 8.5:

Onde, σ é a cte de Stefan-Boltzmann

Fazendo uma aproximação de que a densidade de energia ρ seja constante, assim

Para um comprimento de onda de 560nm:

Assim,

Uma quantidade muito pequena da radiação da estrela está no espectro visível, assim praticamente não emite brilho visível.