Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 20
20 – Estime a componente z do momento angular e a energia cinética de uma partícula num anel quando a função de onda (não-normalizada) é
A)
B)
C)
D)
Passo 1
Em cada caso, se a função é uma autofunção do operador e o autovalor é também o valor esperado, podemos utilizar a seguinte relação matemática para calcular o momento angular, J, para essas funções
Onde, f é a função de onda neste caso
Se caso a função não é uma autofunção, então teremos que usar a expressão abaixo para calcular o componente z do momento angular, Jz:
Onde, ψ* é função de onda não-normalizada e Iψ é definido por:
Passo 2
Vamos agora ver como calcular a energia cinética da partícula para cada função de onda.
Vamos relembrar que a energia cinética de uma partícula pode ser expressa como:
Esta equação acima é a energia cinética de uma partícula em função do momento angular do componente z, Jz, e do momento de inércia, I.
Sendo
Assim,
Onde, i é o número imaginário que é definido como
Assim,
Substituindo na expressão da energia cinética:
Para uma função de onda ψ:
Passo 3
A)
Para
Uma função do tipo exponencial é sempre uma autofunção do operador. Então, eiφ é uma autofunção, logo
Assim,
Portanto,
Passo 4
Calculando a energia cinética:
Como já calculamos
Assim,
Sendo
Então,
Substituindo,
Logo,
Passo 5
B)
Para
Essa função de onda também é uma autofunção, logo
Assim,
Portanto,
Passo 6
Calculando a energia cinética:
Como já calculamos
Assim,
Sendo
Então,
Substituindo,
Logo,
Passo 7
C)
Para
Essa função de onda não se enquadra como uma autofunção, e dessa forma:
Onde,
Assim, substituindo na integral:
Definindo o intervalo, na qual o ângulo φ varia de 0 até 2π para uma rotação completa de uma partícula em um anel, assim
Passo 8
Resolvendo a integral
Resolvendo por substituição simples, fazendo
Assim,
Assim,
Com isso,
Passo 9
Agora a energia cinética:
Onde,
Assim,
Então,
Substituindo,
Logo,
Passo 10
D)
Para
Essa função de onda, também não é uma autofunção, e dessa forma:
Onde,
Assim, substituindo na integral:
Definindo o intervalo, na qual o ângulo φ varia de 0 até 2π para uma rotação completa de uma partícula em um anel, assim
Passo 11
Resolvendo a integral
Essa integral pode ser escrita como:
Assim,
Com isso,
Lembrando de identidade trigonométrica
Assim,
Passo 12
Agora a energia cinética:
Onde,
Assim,
Sendo
Assim,
Substituindo,
Logo,
Resposta
A)
B)
C)
D)