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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 9.Problemas Teóricos - Ex. 29

29 – Mostre que o comutador [I2, Iz] = 0, e, então, sem qualquer calculo adicional, justifique a generalização de que [I2, Iq] = 0 para q = x, y e z.

Passo 1

Para este exercício, vamos trabalhar com algebrismo para mostrar que o comutador do enunciado é nulo, usando as definições de um comutador.

O comutador [I2, Iz] é definido como:

I 2 ,   I z = I x 2 + I y 2 + I z 2 ,   I z = I x 2 ,   I z + I y 2 ,   I z + I z 2 ,   I z

Assim, como temos que

I 2 ,   I z = 0

Então,

I x 2 ,   I z + I y 2 ,   I z + I z 2 ,   I z = 0

Passo 2

Os três comutadores são definidos como:

Comutador [I2x, Iz]:

I x 2 ,   I z = I x 2 I z - I z I x 2

I x 2 ,   I z = I x 2 I z - I x I z I x + I x I z I x - I z I x 2

I x 2 ,   I z = I x I x I z - I z I x + I x I z - I z I x I x

I x 2 ,   I z = I x I x , I z + [ I x , I z ] I x

Onde o comutador dos componentes x e z [Ix, Iz] é dado por:

I x , I z = - i ħ I z

Assim,

I x 2 ,   I z = I x - i ħ I z + [ - i ħ I z ] I x

I x 2 ,   I z = - i ħ ( I x I y + I y I x )

Passo 3

Comutador [I2y, Iz]:

Analogamente,

I y 2 ,   I z = I y 2 I z - I z I y 2

I y 2 ,   I z = I y 2 I z - I y I z I y + I y I z I y - I z I y 2

I y 2 ,   I z = I y I y I z - I z I y + I y I z - I z I y I y

I y 2 ,   I z = I y I y , I z + I y , I z I y

Onde o comutador dos componentes y e z [Iy, Iz] é dado por:

I y , I z = i ħ I x

Assim,

I y 2 ,   I z = I y i ħ I x + [ i ħ I x ] I y

I y 2 ,   I z = i ħ ( I y I x + I x I y )

Passo 4

Comutador [I2z, Iz]:

I z 2 ,   I z = I z 2 I z - I z 2 ,   I z = I z 3 - I z 3 = 0

Passo 5

Sendo

I 2 ,   I z = I x 2 ,   I z + I y 2 ,   I z + I z 2 ,   I z

Substituindo,

I 2 ,   I z = - i ħ I x I y + I y I x + i ħ I x I y + I y I x + 0 = 0

I 2 ,   I z = 0

Passo 6

Para provarmos que o comutador generalizado [I2, Iq] é zero para q igual a x e y, assim como foi para z, pode-se analisar que no plano do momento angular I2, os componentes do vetor I2 são simétricos, isto é, Ix, Iy e Iz são simétricos em I2, com isso

I 2 ,   I z = I 2 ,   I x = I 2 ,   I y = 0

Resposta

I 2 ,   I z = - i ħ I x I y + I y I x + i ħ I x I y + I y I x + 0 = 0

Os componentes Ix, Iy e Iz são simétricos em I2:

I 2 ,   I z = I 2 ,   I x = I 2 ,   I y = 0

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