8a – Pode a função ψ = x(L - x) ser usada como uma função hipotética para o estado n = 1 de uma partícula de massa m numa caixa unidimensional de comprimento L? Se a resposta for afirmativa, expresse a energia dessa função hipotética em termos de h, m e L. Compare a expressão obtida com o resultado exato (eq. 9.4). Se a resposta for negativa, explique por que a função que está sendo proposta não é adequada.

Passo 1

Para sabermos se a função de onda é adequada, nós temos que verificar se a função de onda nas fronteiras da caixa, isto é, nas posições de x = 0 e x = L, possui valor nulo, ou seja,

ψ x = 0 = 0

ψ x = L = 0

Assim, verificando

Para x = 0

ψ = 0 L - 0 = 0

Para x = L

ψ = L L - L = L 0 = 0

Logo, como podemos ver, nas fronteiras da caixa, a função de onda possui valor nulo, portanto a função de onda dada tal como foi definida pode ser usada como uma função hipotética.

Passo 2

A energia hipotética da função de onda, que será a energia do estado de energia de nº n, aplicada para uma caixa retangular de comprimento n, pode ser determinada por:

E n = - 4 n 2 + 1 h 2 2 m L 2 d 2 ψ d x 2

Resolvendo a derivada segunda:

d 2 ψ d x 2 = d d x d d x x L - x 2

d 2 ψ d x 2 = d d x L - 2 x = - 2

Assim, substituindo

E n = - 4 n 2 + 1 h 2 2 m L 2 - 2

E n = 4 n 2 + 1 h 2 m L 2

Para n = 1

E = 5 h 2 m L 2

Passo 3

Vamos agora comparar a energia que obtemos com a eq. 9.4.

A energia E para o nível n do estado de energia, dada pela Eq. 9.4 é:

E n = h 2 n 2 8 m L 2

Para n = 1

E = h 2 8 m L

Em comparação, podemos ver que a energia obtida para a função de onda ψ, possui um valor maior para qualquer valor de L.

Resposta

A função onda é apropriada para ser usada como uma função hipotética.

E = 5 h 2 m L 2

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