Enunciado
Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 8a
8a – Pode a função ψ = x(L - x) ser usada como uma função hipotética para o estado n = 1 de uma partícula de massa m numa caixa unidimensional de comprimento L? Se a resposta for afirmativa, expresse a energia dessa função hipotética em termos de h, m e L. Compare a expressão obtida com o resultado exato (eq. 9.4). Se a resposta for negativa, explique por que a função que está sendo proposta não é adequada.
Passo 1
Para sabermos se a função de onda é adequada, nós temos que verificar se a função de onda nas fronteiras da caixa, isto é, nas posições de x = 0 e x = L, possui valor nulo, ou seja,
Assim, verificando
Para x = 0
Para x = L
Logo, como podemos ver, nas fronteiras da caixa, a função de onda possui valor nulo, portanto a função de onda dada tal como foi definida pode ser usada como uma função hipotética.
Passo 2
A energia hipotética da função de onda, que será a energia do estado de energia de nº n, aplicada para uma caixa retangular de comprimento n, pode ser determinada por:
Resolvendo a derivada segunda:
Assim, substituindo
Para n = 1
Passo 3
Vamos agora comparar a energia que obtemos com a eq. 9.4.
A energia E para o nível n do estado de energia, dada pela Eq. 9.4 é:
Para n = 1
Em comparação, podemos ver que a energia obtida para a função de onda ψ, possui um valor maior para qualquer valor de L.
Resposta
A função onda é apropriada para ser usada como uma função hipotética.