84. O número de moléculas de uma amostra de um gás que tem a velocidade mais provável ( v p r o )   na temperatura T é a metade do mesmo tipo de moléculas que têm a velocidade mais provável em 300   K . Qual é a temperatura?

Passo 1

A fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell, para relacionar a distribuição das velocidades moleculares de um gás tem a seguinte cara:

P v = 4 π M 2 R T 3 2 v 2 e - M v 2 2 R T

E a fórmula da função que relaciona frações de moléculas de um gás com uma velocidade v é dada por:

f v = 4 π N M 2 R T 3 2 v 2 e - M v 2 2 R T

Só que como a questão pede a velocidade mais provável, esta é aquela na qual a função de distribuição de velocidades f ( v ) é máxima, e nestas circunstâncias:

d ( f v ) d v = 0

N d d v 4 π M 2 π R T 3 2 v 2 e - M v 2 2 R T = 0

Bom!! Não vamos derivar essa monstruosidade, até porque nós já sabemos que a velocidade mais provável v p de um gás é dada pela seguinte fórmula:

v p = 2 R T M

Passo 2

Desse modo, nomeando o instante inicial como ( 1 ) e o instante final como ( 2 ) , vamos relacionar a fórmula acima para os dois casos. Observemos que é o mesmo tipo de gás!! Então M e R são iguais:

v p , 1 v p , 2 = 2 R T 1 M 2 R T 2 M

v p , 1 v p , 2 = T 1 T 2

Chegamos numa boa relação!! Tá faltando só mais uma coisinha. A questão nos diz que número de moléculas de uma amostra de um gás que tem a velocidade mais provável ( v p r o )   na temperatura T é a metade do mesmo tipo de moléculas que têm a velocidade mais provável em 300   K . Ora bolas como f ( v ) e P ( v ) estão relacionados por N , isso significa que uma velocidade mais provável irá ser 2 / 2     vezes o valor da outra, já que como ambas estão elevadas ao quadrado e o número de moléculas está relacionado pela metade, esse valor ao quadrado resultaria em 1 / 2 :

v p , 1 v p , 2 = T 1 T 2

v p , 2 2 2 v p , 2 = T 1 T 2

1 2 = T 1 T 2

T 1 300   K = 1 2

T 1 = 150   K

T = 150   K

Resposta

A   t e m p e r a t u r a   T   é   d e   150   K

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