Enunciado
Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 84
84. O número de moléculas de uma amostra de um gás que tem a velocidade mais provável na temperatura é a metade do mesmo tipo de moléculas que têm a velocidade mais provável em . Qual é a temperatura?
Passo 1
A fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell, para relacionar a distribuição das velocidades moleculares de um gás tem a seguinte cara:
E a fórmula da função que relaciona frações de moléculas de um gás com uma velocidade é dada por:
Só que como a questão pede a velocidade mais provável, esta é aquela na qual a função de distribuição de velocidades é máxima, e nestas circunstâncias:
Bom!! Não vamos derivar essa monstruosidade, até porque nós já sabemos que a velocidade mais provável de um gás é dada pela seguinte fórmula:
Passo 2
Desse modo, nomeando o instante inicial como e o instante final como , vamos relacionar a fórmula acima para os dois casos. Observemos que é o mesmo tipo de gás!! Então e são iguais:
Chegamos numa boa relação!! Tá faltando só mais uma coisinha. A questão nos diz que número de moléculas de uma amostra de um gás que tem a velocidade mais provável na temperatura é a metade do mesmo tipo de moléculas que têm a velocidade mais provável em . Ora bolas como e estão relacionados por , isso significa que uma velocidade mais provável irá ser vezes o valor da outra, já que como ambas estão elevadas ao quadrado e o número de moléculas está relacionado pela metade, esse valor ao quadrado resultaria em :