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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 83

83. Uma garrafa contém 1,0   m o l   de H e ( g ) . Outra garra contém 1,0   m o l de A r ( g ) na mesma temperatura. Nessa temperatura, a raiz quadrada da velocidade quadrática média do H e é 1477   m / s e a do A r é 467   m / s . Qual é a razão entre o número de átomos de hélio na primeira garrafa e o de argônio na segunda garrafa que tem essa velocidade? Imagine que os dois gases têm comportamente ideal.

Passo 1

Bom! Primeiramente, vamos determinar a velocidade quadrática média molecular para o hélio H e , de massa molar 4   g ⋅ m o l - 1 , através da seguinte fórmula:

v r m s = 3 R T M 1 2 = 3 R T M

E substituindo os valores numéricos que já temos, conseguimos uma temperatura igual à:

1477   m / s = 3 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 ) T 4   g ⋅ m o l - 1

3 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 ) T 4 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m o l - 1 = ( 1477   m / s ) 2

T = ( 1477   m / s ) 2 × ( 4 ⋅ 10 - 3   k g ⋅ m o l - 1 ) 3 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 )

T ≅ 349,9   K

Não foi feito o cálculo pro outro gás, porque a questão mesmo nos diz que as temperaturas são iguais.

Passo 2

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de velocidades de Maxwell, para relacionar as frações de moléculas dos dois gases:

f v = 4 π M 2 π R T 3 2 v 2 e - M v 2 2 R T

Como o enunciado pede a razão entre o número de átomos de hélio na primeira garrafa e o de argônio na segunda garrafa que tem uma determinada velocidade, faremos uma razão entre os dois gases, usando a fórmula acima e chamando os dados relativos ao Hélio H e com a notação ( 1 ) e os dados relativos ao argônio ( A r ) , com a notação ( 2 ) .

f ( v H e ) f ( v A r ) = 4 π M H e 2 π R T 3 2 ( v H e ) 2 e - M H e ⋅ ( v H e ) 2 2 R T 4 π M A r 2 π R T 3 2 ( v A r ) 2 e - M A r ⋅ ( v A r ) 2 2 R T

f ( v H e ) f ( v A r ) = M H e 3 2 ( v H e ) 2 e - M H e ⋅ ( v H e ) 2 2 R T M A r 3 2 ( v A r ) 2 e - M A r ⋅ ( v A r ) 2 2 R T

f ( v H e ) f ( v A r ) = 4   g ⋅ m o l - 1 3 2 ( 1477   m ⋅ s - 1 ) 2 39,95   g ⋅ m o l - 1 3 2 ( 46 7   m ⋅ s - 1 ) 2 × e - ( 4   g ⋅ m o l - 1 ) ⋅ ( 1477   m ⋅ s - 1 ) 2 2 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 ) ( 349,9   K ) e - ( 39,95   g ⋅ m o l - 1 ) ⋅ ( 467   m ⋅ s - 1 ) 2 2 ( 8,314   J ⋅ m o l - 1 ⋅ K - 1 ) ( 349,9   K )

f ( v H e ) f ( v A r ) = 4   g ⋅ m o l - 1 39,95   g ⋅ m o l - 1 3 2 ⋅ 1477   m ⋅ s - 1 467   m ⋅ s - 1 2 ⋅ 0,9977

f ( v H e ) f ( v A r ) ≅ 0,316

Resposta

A   r a z ã o   é   d e   a p r o x i m a d a m e n t e   0,316

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