Enunciado

A água pode ser determinada em amostras sólidas por espectroscopia no infravermelho. O conteúdo de água do sulfato de cálcio hidratado deve ser medido empregando-se carbonato de cálcio como padrão interno para compensar alguns erros sistemáticos do procedimento. Uma série de soluções padrão contendo sulfato de cálcio diidratado e uma quantidade constante conhecida do padrão interno é preparada. A solução com conteúdo desconhecido de água também é preparada contendo a mesma quantidade do padrão interno. A absorbância do composto diidratado é medida em um comprimento de onda ( A a m o s t r a ) juntamente com aquela do padrão interno em outro comprimento de onda ( A p a d r ã o ). Os seguintes resultados foram obtidos.

  1. Faça um gráfico da razão A a m o s t r a / A p a d r ã o v e r s u s % de água e comente se o uso do padrão interno melhora a linearidade obtida na parte (a). Se há melhoria na linearidade, explique por quê.

Passo 1

Oi galerinha. Para a gente construir o gráfico, iremos utilizar o programa Excel, mas fiquem calmos que irei te ajudar. Do item (a), obtivemos o seguinte resultado:

E para este exercício iremos considerar que:

x i = %   d e   á g u a ;

y i = A a m o s t r a / A p a d r ã o .

Então primeiramente iremos calcular a relação da absorbância da amostra com o padrão:

Passo 2

Agora conseguimos construir nosso gráfico. Para isso iremos selecionar os dados:

Então clicamos na aba “Inserir” e na opção “Gráficos”, escolhemos “Dispersão”:

Nosso gráfico será criado e precisamos colocar a linha de tendência linear. Iremos clicar no símbolo ( + ) à direita do gráfico, selecionar a opção “Linha de Tendência” e escolher a opção “Linear”, como está descrito abaixo:

E assim iremos obter o gráfico a seguir:

Passo 3

Com isso temos o valor do coeficiente de correlação:

R 2 = 0 , 9946

E nossa equação da reta:

y = 0 , 0486 ∙ x + 0,0 106

Onde:

Inclinação da reta: m = 0,0 486 ;

Intercepto: b = 0,0 106 .

Pelo gráfico conseguimos perceber que o ajuste linear melhorou muito em comparação com o obtido no item (a), além de ser visual, o valor do coeficiente de correlação aumentou bastante e obtivemos um bom valor ( R 2 = 0,9946 ).

Passo 4

Além do coeficiente de variação ( R 2 ), conseguimos determinar também o valor F pela equação:

F = Q M r e g r Q M r e s i d

Para chegarmos neste valor, vamos fazer alguns cálculos primeiramente, como uma amostra é desconhecido, iremos considerar N = 5 :

Onde, temos a soma dos quadrados:

S S r e s i d = ∑ y i - b + m ∙ x i 2

S S r e s i d = 0,0 02060

S S t o t = ∑ y i 2 - ∑ y i 2 N = 2,13874 - 2,96608 2 5

S S t o t = 0 , 37 9 2

S S r e g r = S S t o t - S S r e s i d = 0 , 3792 - 0,0 0206

S S r e g r = 0 , 37714

A soma total dos quadrados tem quatro graus de liberdade associados a ela. A soma dos quadrados devido aos resíduos possui três graus de liberdade. Além disso, S S r e g r tem apenas um grau de liberdade.

Q M r e g r = S S r e g r k = 0 , 37714 1

Q M r e g r = 0 , 37714

Q M r e s i d = S S r e s i d n - k + 1 = 0 , 00206 3

Q M r e s i d = 0,0 0069

Agora iremos calcular o valor de F , porque ele nos indica a significância da regressão:

F = Q M r e g r Q M r e s i d = 0 , 37714 0,0 0069

F = 5 46,58

Como nosso valor F é grande, indica que nossa hipótese nula deve ser rejeitada e que a regressão é significativa. Ou seja, só confirmamos o que foi já tínhamos percebido, que o ajuste linear melhorou.

Pelo gráfico conseguimos perceber que o ajuste linear melhorou muito em comparação com o obtido no item (a), além de ser visual, o valor do coeficiente de correlação aumentou bastante e obtivemos um bom valor ( R 2 = 0,9946 ).

Prontinho pessoal, espero que tenha conseguido te ajudar, até mais.

Resposta

Faça um gráfico da razão A a m o s t r a / A p a d r ã o v e r s u s % de água e comente se o uso do padrão interno melhora a linearidade obtida na parte (a). Se há melhoria na linearidade, explique por quê.

Além de percebermos, visualmente, uma melhora no ajuste linear, também é possível notar pelos valores altos do coeficiente de correlação ( R 2 = 0,9946 ) e do valor F ( F = 546,58 ). Fazendo a razão da absorbância da amostra com o padrão, nós conseguimos anular os erros sistemáticos que afetam a amostra e o padrão.

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