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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 6b

Escreva a expressão da função de distribuição radial de um elétron 3s num átomo hidrogenóide, e determine o raio em que é mais provável encontrar o elétron.

Passo 1

E aí, gente!!! Vamos começar fazendo o que o enunciado nos induz a fazer que é o que? Pegar a função de distribuição radial para um elétron 3s.

P = 4 π r 2 ψ 2

P 3 s = 4 π r 2 Y 0,0 R 3,0 2

Portanto, temos que fazer o que agora? Vamos abrir nosso P 3 s

P 3 s = 4 π r 2 1 4 π × 1 243 × Z α 0 × 6 - 6 ρ + ρ 2 2 e - ρ

Onde por definição a gente tem que:

ρ ≡ 2 Z r n a 0 = 2 Z r 3 a 0

Passo 2

Mas a gente quer encontrar a função radial que mais se adequa ao nosso problema, e pensa comigo, isso seria bom se pudéssemos simplificar a função expressando a mesma em termos de r ou ρ , mas não dos dois ao mesmo tempo. Pra isso a gente deve derivar P 3 s e igualar a zero, e portanto, podemos coletar todas as constantes que estão multiplicadas e colocar elas todas juntas como se fossem uma outra constate C, tipo assim ó:

P 3 s = C 2 ρ 2 6 - 6 ρ + ρ 2 2 e - ρ

C = 4 π r 2 1 4 π × 1 243 × Z α 0

Passo 3

Agora vamos derivar a equação que encontramos no passo (2)

d P 3 s 1 2 d ρ = 0 = d d ρ C ρ 6 - 6 ρ + ρ 2 2 e - ρ / 2

0 = C ρ 6 - 6 ρ + ρ 2 × - 1 2 + 6 - 12 ρ + 3 ρ 2 e - ρ 2

12 - 30 ρ + 12 ρ 2 - ρ 3 = 0

Resolvendo essa equação cúbica temos as seguintes raízes:

ρ = 0,49   ;     2,79   e   8,72

Que correspondem a:

r = 0,79 a 0 Z ,   4,19 a 0 Z   e 13,03 a 0 Z

Resposta

r = 0,79 a 0 Z ,   4,19 a 0 Z   e 13,03 a 0 Z

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