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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 4a

A função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio é N e -   r a 0 . Determine a constante de normalização N.

Passo 1

E aí, genteeee! Tudo bem? Esses exercícios são muito legais pra gente começar a desenvolver as ideias e conceitos que usamos na química quântica. Primeiro de tudo, vamos lembrar como normalizamos uma função de onda?

∫ ψ 2 d τ = 1

Passo 2

Agora no próximo passo a gente vai precisar abrir essa integral, pois estamos falando de uma integral tripla e precisamos ainda lembrar que o nosso d τ deve ser substituída pela forma que usamos sempre quando estamos em coordenadas polares, beleza?

∫ 0 ∞ ∫ 0 π ∫ 0 2 π N e - r a 0 2 d ϕ   s e n θ   d θ   r 2   d r = 1

1 = N 2 ∫ 0 ∞ e - r a 0 2 r 2 d r   ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Passo 3

Agora bora que bora integrar isso aí?

1 = 4 π N 2 ∫ 0 ∞ e - r a 0 2 r 2   d r = 4 π N 2 4 a 0 3

Por fim, nossa constante de normalização N é dada por:

N = 1 4 π 4 a 0 3 = 1 4 π a 0 3    

Resposta

N = 1 4 π a 0 3

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