Enunciado
Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 70
O orbital antiligante da Eq. 2 não está normalizado (veja o exercício 3.69). Encontre o fato que normaliza a 1, sabendo q os orbitais atômicos nela utilizados estão normalizados. Expresse sua resposta em termos da “integral de recobrimento” . (A notação é a mesma usada no Exercício 3.57.) confirme que os orbitais ligante e antiligante são mutuamente ortogonais, isto é, que a integral do produto das duas funções de onda é zero.
Passo 1
O orbital antiligante é escrito como a seguinte combinação linear das funções de onda dos orbitais atômicos:
E a integral de recobrimento dada no enunciado se escreve:
Fazemos então o produto da função de onda que descreve o orbital antiligante com o fator N de normalização, para depois podermos fazer o produto interno de (produto dela por ela mesma) e então integrarmos em todo o espaço, esse resultado será um devido á normalização:
Podemos então determinar o fator N.
Passo 2
Substituímos a função de onda e colocamos o fator N para fora da integral pois ele é uma constante:
Resolvemos o produto:
E separamos cada um dos termos na soma, pela linearidade da integração (a soma das integrais é igual à integral da soma):
Passo 3
Como os orbitais atômicos que formam o orbital molecular são normalizados, então:
E
E a integral do meio é a integral de recobrimento S, nossa equação então se torna:
O fator de normalização será:
Passo 4
Como o exercício nos pede para mostrar que o orbital ligante é ortogonal ao antiligante, fazemos o produto entre eles e integramos em todo o espaço:
Substituindo cada função:
Resolvendo o produto:
Pela linearidade da integração:
Como os orbitais são normalizados:
Mostramos que os orbitais são ortogonais.