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Enunciado

Química - Princípios de Química: Questionando a Vida Moderna e o Meio Ambiente - 5ª Edição - Peter Atkins, Loretta Jones e Leroy Laverman- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 48

O orbital híbrido h 1 = s + p x + p y + p z a que o Exercício 3.47 se refere não está normalizado. Encontre o fator de normalização N, levando em conta que todos os orbitais atômicos estão normalizados a 1.

Passo 1

O enunciado nos diz que a função h 1 não está normalizada, para que ela passe a ser normalizada, precisamos multiplicá-la por um fator N, e o resultado será uma função normalizada, que podemos chamar de ψ :

ψ = N h 1

Logo, pela condição de normalização:

∫ ψ 2 d τ = 1

Substituindo ψ :

∫ N h 1 2 d τ = 1

Passo 2

Podemos agora resolver a equação acima, colocando o fator N para fora da integra, já que se trata de uma constante:

N 2 ∫ h 1 2 d τ = 1

Substituindo h 1 :

N 2 ∫ ( s + p x + p y + p z ) 2 d τ = 1

Expandindo o polinômio:

N 2 ∫ s 2 + p x 2 + p y 2 + p z 2 + … + p y p z d τ = 1

O termo em reticencias se refere aos termos cruzados como p y p z . Como a integral da soma é igual à soma das integrais:

N 2 ∫ s 2 d τ + ∫ p x 2 d τ + ∫ p y 2 d τ + ∫ p z 2 d τ + … + ∫ p y p z d τ = 1

As integrais nas reticencias e a integral ∫ p y p z d τ , serão zero, pois orbitais diferentes são ortogonais entre si. A equação então fica:

N 2 ∫ s 2 d τ + ∫ p x 2 d τ + ∫ p y 2 d τ + ∫ p z 2 d τ = 1

Como o enunciado afirma que os orbitais atômicos estão normalizados a 1, a integral do produto de cada orbital por si mesmo sobre todo o espaço é 1, então:

N 2 1 + 1 + 1 + 1 = 1

Isolando N e resolvendo:

N = 1 4 = 1 2

Resposta

N = 1 2

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