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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 13.Aplicações - Ex. 29

No Problema 10.27, vimos que os deslocamentos Doppler das linhas espectrais atómicas são usados para estimar a velocidade de afastamento ou de aproximação de uma estrela. Da discussão da Seção 13.3a, é fácil ver que o alargamento Doppler de uma linha espectral atómica depende da temperatura da estrela que emite a radiação. Uma linha espectral de 48Ti+8 (de massa 47,95 u) numa estrela distante está deslocada de 654,2 nm para 706,5 nm e tem largura de 61,8 pm. Qual é a velocidade de afastamento e qual a temperatura da superficie da estrela?

Passo 1

Falaaaaaaaaaaaaaaaa Tribuxo?

Bora resolver mais uma questão!?

Vamos começar entendendo o que o exercício quer, ele quer a velocidade de afastamento e qual a temperatura da superfície da estrela.

Primeiro achando esse algo, então vamos usar a equação:

v a f a s t a m e n t o = v 1 - s c 1 + s c 1 2

Como queremos a velocidade de afastamento, iremos isolar s , primeiro vamos elevar tudo ao quadrado:

v a f a s t a m e n t o 2 = v 2 1 - s c 1 + s c

Vamos dividir tudo por v 2 :

v a f a s t a m e n t o 2 v 2 = 1 - s c 1 + s c

Multiplicando tudo por 1 + s c :

v a f a s t a m e n t o 2 v 2 1 + s c = 1 - s c

v a f a s t a m e n t o 2 v 2 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2 s c = 1 - s c

Subtraindo tudo por 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2 s c :

v a f a s t a m e n t o 2 v 2 - 1 = - s c - v a f a s t a m e n t o 2 v 2 s c

Colocando s c em evidência, temos:

v a f a s t a m e n t o 2 v 2 - 1 = - s c 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2

- v a f a s t a m e n t o 2 v 2 + 1 = s c 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2

Dividindo tudo por 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2 :

- v a f a s t a m e n t o 2 v 2 + 1 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2 = s c

1 - v a f a s t a m e n t o 2 v 2 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2 = s c

Multiplicando tudo por c :

s = c   .   1 - v a f a s t a m e n t o 2 v 2 1 + v a f a s t a m e n t o 2 v 2

Passo 2

Mas também queremos a temperatura, então:

δ v o b s = 2 v c 2 k T ln ⁡ 2 m 1 2  

Elevando tudo ao quadrado:

δ v o b s 2 = 2 v c 2 2 k T ln ⁡ 2 m  

Dividindo tudo por 2 v c 2 :

δ v o b s 2 2 v c 2 = 2 k T ln ⁡ 2 m  

c δ v o b s 2 v 2 = 2 k T ln ⁡ 2 m

Dividindo tudo por 2 k ln ⁡ 2 m :

T = c δ v o b s 2 v 2 m 2 k ln ⁡ 2  

Passo 3

Agora só precisamos substituir para achar a velocidade:

s = 3 × 10 8   .   1 - 654,2 706,5 2 1 + 654,2 706,5 2

s = 2,303 × 10 7   m / s

Passo 4

Agora só precisamos substituir para achar a temperatura:

T = 3 × 10 8   .   61,8 × 10 - 12 2   .   654,2 × 10 - 9 2 47,95   .   1,661 × 10 - 27 2   .   1,381 × 10 - 23   .   ln ⁡ 2  

T = 8,353 × 10 5   K

Bora matar mais uma!

Resposta

s = 2,303 × 10 7   m / s

T = 8,353 × 10 5   K

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