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Enunciado

Química - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Exercícios - Ex. 9b

Suponha que a função A e - a t 2 , onde A é a constante de normalização e a é um parâmetro ajustável, seja usada como uma função de onda hipotética para o orbital 1 s do átomo de hidrogênio. A energia dessa função de onda hipotética é

E = 3 a h 2 2 μ - e 2 ε 0 a 2 π 3 1 2

Onde e representa a carga do elétron, e μ a massa efetiva do átomo de H . Qual é a energia mínima associada a essa função de onda hipotética?

Passo 1

Temos que o princípio de variação diz que a energia mínima é obtida tomando a derivada da energia experimental em relação aos parâmetros ajustáveis, definindo-a igual a zero a resolvendo para os parâmetros, assim, começamos o nosso problema partindo da equação da energia experimental:

E e x p = 3 a h 2 2 μ - e 2 ε 0 a 2 π 3 1 2

Agora, derivamos essa equação em relação a a :

d E e x p d a = 3 h 2 2 μ - e 2 2 ε 0 1 2 a π 3 1 2 = 0

Rearranjando essa equação:

3 h 2 2 μ = e 2 2 ε 0 1 2 a π 3 1 2

Por fim, isolando a , obtemos:

a = μ e 2 3 h 2 ε 0 2 1 2 π 3 = μ 2 e 4 18 π 3 h 3 ε 0 2

Passo 2

Devemos substituir a obtido, na equação da energia experimental:

E e x p = 3 h 2 2 μ a - e 2 ε 0 a 2 π 3 1 2

E e x p = 3 h 2 2 μ μ 2 e 4 18 π 3 h 4 ε 0 2 - e 2 ε o 1 2 π 3 ⋅ μ 2 e 4 18 π 3 h 3 ε 0 2 1 2

Rearranjando essa equação, obtemos a energia mínima associada a essa função de onda hipotética:

E e x p = - μ e 4 12 π 3 ε 0 2 h 2

Viu como é fácil?

Até a próxima questão!

Resposta

E e x p = - μ e 4 12 π 3 ε 0 2 h 2

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