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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas Teóricos - Ex. 16

O “tamanho” de um átomo é considerado, às vezes, como o raio de uma esfera que contém 90% da densidade de carga dos elétrons que ocupam o orbital mais externo. Calcule o “tamanho” do átomo de hidrogênio no seu estado fundamental, de acordo com essa definição.

Passo 1

Bem, vamos começar aqui escrevendo a função que define o orbital ψ 1 s do hidrogênio, beleza?

ψ 1 s = 1 π a 0 3 1 2 e - r a 0

A probabilidade de um elétron estar dentro de uma esfera de raio r’ é dado por:

∫ 0 r ' ∫ 0 π ∫ 0 2 π ψ 1 s 2 r 2   d r   s e n θ   d θ   d ϕ

Passo 2

Então vamos lá, o enunciado nos diz que devemos ter 90% da densidade, ou seja, precisamos igualar a probabilidade igual a 0,9 e resolver para r’ o nosso sistema, show de bola? A integral em θ e ϕ nos dará um valor de 4 π , portanto, temos:

0,90 = 4 a 0 3 ∫ 0 r ' r 2   e - 2 r a 0   d r

Vamos fazer essa integração aí por partes, beleza?

- a 0 r 2 e - 2 r a 0 2 ​ 0 r ' + a 0 - a 0 r 2 e - 2 r a 0 2 + a 0 2 - a 0 e - 2 r a 0 2 0 r '

= a 0 r ' 2 e - 2 r ' a 0 2 - a 0 2 r ' 2 e - 2 r ' a 0 - a 0 3 4 e - 2 r ' a 0 + a 0 3 4  

Passo 3

Vamos agora pegar esse resultado e simplificar isso aí né, porque que equação feia que ficou essa integral aí! Vamos multiplicar por 4 / a 0 3 e fatorizar por e - 2 r ' a 0

0,90 = - 2 r ' a 0 2 - 2 r ' a 0 - 1 e - 2 r ' a 0 + 1

2 r ' a 0 2 + 2 r ' a 0 + 1 = 0,10 e 2 r ' a 0

Resolvendo essa nossa equação temos que r ' = 2,66 a 0

Resposta

r ' = 2,66 a 0

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