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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Exercícios - Ex. 12

12. Mostre que Φ ϕ = e i m l ϕ = Φ ( ϕ + 2 π ) (ou seja, mostre que Φ ( ϕ ) é periódica com período igual a 2 π ) se e somente se m l possuir valores restritos a 0 , ± 1 , ± 2 … (Sugestão: de acordo com a fórmula de Euler, temos e i ϕ = cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ .)

Passo 1

Fica tranquilo que esse problema vamos dominar com facilidade.

Só temos que usar a fórmula de Euler na expressão que temos para Φ ( ϕ ) e igualar com o caso de Φ ( ϕ + 2 π ) e mostrar que essa igualdade só é verdadeira para para os valores de m l dados no enunciado.

Temos que:

Φ ϕ = e i m l ϕ = cos ⁡ ( m l ϕ ) + i sen ⁡ ( m l ϕ )

Φ ϕ + 2 π = e i m l ( ϕ + 2 π ) = cos ⁡ ( m l ( ϕ + 2 π ) ) + i sen ⁡ ( m l ( ϕ + 2 π ) )

Passo 2

Antes de igualarmos as expressões vamos mexer um poco na expressão de Φ ϕ + 2 π , para deixá-la de uma forma melhor para compará-la, temos:

Φ ϕ + 2 π = cos ⁡ ( m l ( ϕ + 2 π ) ) + i sen ⁡ ( m l ( ϕ + 2 π ) )

= cos ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π - sen ⁡ m l ϕ sen ⁡ m l 2 π + i [ sen ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π +

+ sen ⁡ m l 2 π cos ⁡ m l ϕ ]

Passo 3

Agora vamos comparar a expressão que chegamos no passo anterior com a expressão de Φ ( ϕ ) . Temos:

Φ ϕ = e i m l ϕ = cos ⁡ ( m l ϕ ) + i sen ⁡ ( m l ϕ )

Φ ϕ + 2 π = cos ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π - sen ⁡ m l ϕ sen ⁡ m l 2 π + i [ sen ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π +

+ sen ⁡ m l 2 π cos ⁡ m l ϕ ]

Se essas duas expressões forem iguais, então:

cos ⁡ ( m l ϕ ) = cos ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π - sen ⁡ m l ϕ sen ⁡ m l 2 π

i sen ⁡ ( m l ϕ ) =   i [ sen ⁡ m l ϕ cos ⁡ m l 2 π + sen ⁡ m l 2 π cos ⁡ m l ϕ ]

Mas concorda comigo que para essa igualde ser verdadeira temos que ter

cos ⁡ m l 2 π = 1

sen ⁡ m l 2 π = 0

Mas isso só pode ser verdade se m l = 0 , ± 1 , ± 2 … , pois assim teremos múltiplos inteiros de 2 π e cosseno de múltiplos inteiros de 2 π é igual a 1 e seno de múltiplos inteiros de 2 π é zero.

Logo:

Φ ϕ = Φ ϕ + 2 π

Se e somente se m l = 0 , ± 1 , ± 2 …

Resposta

Φ ϕ = Φ ϕ + 2 π

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