12. Mostre que Φ ϕ = e i m l ϕ = Φ ( ϕ + 2 π ) (ou seja, mostre que Φ ( ϕ ) é periódica com período igual a 2 π ) se e somente se m l possuir valores restritos a 0 , ± 1 , ± 2 … (Sugestão: de acordo com a fórmula de Euler, temos e i ϕ = cos ⁡ ϕ + i sen ⁡ ϕ .)

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Exercícios - Ex. 12

12. Mostre que (ou seja, mostre que é periódica com período igual a ) se e somente se possuir valores restritos a (Sugestão: de acordo com a fórmula de Euler, temos .)

Passo 1

Fica tranquilo que esse problema vamos dominar com facilidade.

Só temos que usar a fórmula de Euler na expressão que temos para e igualar com o caso de e mostrar que essa igualdade só é verdadeira para para os valores de dados no enunciado.

Temos que:

Passo 2

Antes de igualarmos as expressões vamos mexer um poco na expressão de , para deixá-la de uma forma melhor para compará-la, temos:

Passo 3

Agora vamos comparar a expressão que chegamos no passo anterior com a expressão de . Temos:

Se essas duas expressões forem iguais, então:

Mas concorda comigo que para essa igualde ser verdadeira temos que ter

Mas isso só pode ser verdade se , pois assim teremos múltiplos inteiros de e cosseno de múltiplos inteiros de é igual a e seno de múltiplos inteiros de é zero.

Logo:

Se e somente se

Resposta

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Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental, calcule ( a ) a densidade de probabilidade ψ 2 ( r ) e ( b ) a densidade de probabilidade P ( r ) para r = a , onde a é o raio de Bohr.

Mostre que a Eq. 39-44., que expressa a densidade de probabilidade radial para o estado fundamental do átomo de hidrogênio é normalizada, ou seja, que: ∫ 0 ∞ P r d r = 1

Calcule a densidade de probabilidade radia P ( r ) par o átomo de hidrogênio no estado fundamental ( a ) em r = 0 ; ( b ) em r = a ; ( c ) em r = 2 a , onde a é o raio de Bohr.

As funções de onda dos três estados cujos gráficos de pontos aparecem na Fig. 39-23. para os quais n = 2 , λ = 1 , e m λ = 0 ,+ 1 ,e - 1 são: ψ 210 r , θ = 1 4 2 π a - 3 / 2 r a 2 e - r / 2 a c o s θ

Qual e a probabilidade de que um eletron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios r e r + ∆ r ( a ) se r = 0,500 a e ∆ r = 0,010 a ;