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Enunciado

Física - Atkins - Fisico-Quimica - Vol. 1- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas Teóricos - Ex. 24

Tome como função de onda hipotética do estado fundamental do átomo de hidrogênio (a) e k r e (b) e - k r 3 , com o princípio variacional, estime o valor ótimo de k em cada caso. Identifique a melhor função de onda. A única parte do laplaciano que precisa ser considerado é a parte das derivadas em relação ao raio.

Passo 1

(a) ψ = e - k r

H = - ℏ 2 2 μ ∇ 2 - e 2 4 π ϵ 0 r

∫ ψ 2 d τ = ∫ 0 ∞ r 2 e - 2 k r d r ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ = π k 3

∫ ψ 1 r   ψ   d τ = ∫ 0 ∞ r e - 2 k r d r ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ = π k 2

∫ ψ ∇ 2 ψ d τ = ∫ 0 ∞ ψ 1 r d 2 d r 2 r e - k r d τ = ∫ ψ k 2 - 2 k r ψ d τ

= π k - 2 π k = - π k

Portanto,

∫ ψ H ψ d τ = ℏ 2 2 μ × π k - e 2 4 π ϵ 0 × π k 2

E

E = ℏ 2 π 2 μ k - e 2 π 4 π ϵ 0 k 2 π k 3 = ℏ 2 k 2 2 μ - e 2 k 4 π ϵ 0

d E d k = 2 ℏ 2 2 μ k - e 2 4 π ϵ 0 = 0

Quando temos que

k = e 2 μ 4 π ϵ 0 ℏ 2

Por isso, a energia ótima é dada quando E = - e 4 μ 32 π 2 ϵ 0 2 ℏ 2 = - h c R H

Passo 2

(b) ψ = e - k r 2

H = - ℏ 2 2 μ ∇ 2 - e 2 4 π ϵ 0 r

∫ ψ 2 d τ = ∫ 0 ∞ r 2 e - 2 k r 2 d r ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ = π 2 π 2 k 3 1 2

∫ ψ 1 r   ψ   d τ = ∫ 0 ∞ r e - 2 k r 2 d r ∫ 0 π s e n θ   d θ ∫ 0 2 π d ϕ = π k

∫ ψ ∇ 2 ψ d τ = - 2 ∫ ψ 3 k - 2 k 2 r 2 ψ   d τ

= - 2 ∫ 0 ∞ 3 k r 2 - 2 k 2 r 4 e - 2 k r 2 d r ∫ 0 π s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

= - 8 π 3 k 8 × π 2 k 3 1 2 - 3 k 2 16 π 2 k 5 1 2

Logo,

E = 3 ℏ 2 k 2 μ - e 2 k 1 2 ϵ 0 2 π 1 2

d E d k = 0

Quando temos que

k = e 4 μ 2 18 π 3 ϵ 0 2 ℏ 4

Por isso, a energia ótima é dada quando E = - e 4 μ 1 2 π 3 ϵ 0 2 ℏ 2 = - 8 3 π × h c R H

Desde que 8 3 π < 1 , a energia em (a) é menor que em (b), portanto a função de onda exponencial é melhor que a Gaussiana.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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8. a ) Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1 s do átomo de hidrogênio a uma distância menor do que a / 2 do núcleo? b ) Use os resultados do item ( a ) e o Exemplo 41.3
1. Um elétron localiza-se no átomo de hidrogênio com n = 3 . a ) Calcule os valores possíveis de L e L z para esse elétron, em unidades de ℏ . b ) Para cada valor de L , encontre todos os ângulos poss