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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 41.Exercícios - Ex. 8

8. a ) Qual é a probabilidade de que um elétron seja encontrado no estado 1 s do átomo de hidrogênio a uma distância menor do que a / 2 do núcleo? b ) Use os resultados do item ( a ) e o Exemplo 41.3 (Seção 41.1 ) para calcular a probabilidade de o elétron ser encontrado a uma distância entre a / 2 e a do núcleo.

Passo 1

A probabilidade de encontrarmos uma partícula dentro dentre uma camada radial é dada por:

P r   d r = ψ 2 4 π r 2   d r

No caso do enunciado nossa camada radial vai de 0 até a / 2 , então:

P r = ∫ 0 a / 2 ψ 2 4 π r 2   d r

Agora temos que saber quem é o nosso ψ , no nosso problema a função de onda de um elétron no estado 1 s , segundo o exemplo 41.2 , é dada por

ψ 1 s = 1 π a 3 e - r / a

Agora, a probabilidade do elétron está entre a / 2 e a é dada pela diferença de probabilidade para esses dois casos.

A probabilidade dele está a uma distância a , segundo o exemplo 41.3 é dada por P = 0,323 .

Passo 2

Vamos encontrar agora a probabilidade pedida no item ( a ) .

Temos que:

ψ 1 s = 1 π a 3 e - r / a

Então o módulo quadrado é dado por:

ψ 1 s 2 = 1 π a 3 e - 2 r / a

Então nossa integral fica da seguinte maneira:

P = ∫ 0 a / 2 1 π a 3 e - 2 r / a 4 π r 2   d r

Colocando tudo que é constante para fora, temos:

P = 4 a 3 ∫ 0 a / 2 r 2 e - 2 r / a   d r

Passo 3

A integral

∫ 0 a / 2 r 2 e - 2 r / a   d r

Tem seu resultado tabelado e sua solução também é mostrada no exemplo 41.3 , temos:

∫ 0 a / 2 r 2 e - 2 r / a   d r = - a r 2 2 - a 2 r 2 - a 3 4 e - 2 r / a 0 a 2

= - a 2 a 2 4 - a 2 2 a 2 - a 3 4 e - 2 / a ⋅ ( a / 2 ) - - a ( 0 ) 2 2 - a 2 ( 0 ) 2 - a 3 4 e - 2 ( 0 ) / a

= - 5 a 3 8 e - 1 + a 3 4

Passo 4

Usando o que encontramos no passo anterior, temos que:

P = 4 a 3 ∫ 0 a / 2 r 2 e - 2 r / a   d r

= 4 a 3 - 5 a 3 8 e - 1 + a 3 4

= 1 - 5 2 e - 1

Então temos que:

P = 0,080

Passo 5

Agora podemos fazer a diferença de probabilidades e achar a probabilidade do elétron está entre a / 2 e a , temos:

P = 0,323 - 0,080 = 0,243

Resposta

( a )

P = 0,080

( b )

P = 0,243

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