Trate o sistema de uma molécula de corante composta por N átomos de C em uma cadeia conjugada, como se fosse uma caixa de comprimento NR, em que R é a distância média da ligação C – C. Sabendo que cada átomo contribui com um elétron e que cada estado da caixa pode acomodar dois elétrons, derive uma expressão para o comprimento de onda da luz absorvida pela transição de mais baixa energia. Seria necessário aumentar o número de átomos de carbono da cadeia ou seria necessário diminuir a cadeia para deslocar o comprimento de onda para valores mais altos? Veja a técnica Principal 2, que vem logo depois destes exercícios.

Bom, sabemos que quando a radiação eletromagnética incide em uma molécula, ocorre a excitação do elétron para um estado de maior energia, aumentando a energia da molécula em

Sabendo que a energia de um elétron no enésimo estado quântico de uma caixa unidimensional é dada por:

onde h é a constante de Planck, m é a massa do elétron e L é o comprimento da caixa.

A transição do estado de energia mais baixo para esse sistema se dá do estado quântico mais alto ocupado, que identificamos com o número quântico , para o próximo estado mais alto ou o estado quântico mais baixo desocupado, ,.

Como cada estado quântico pode conter 2 elétrons e cada átomo de carbono contribui com um elétron:

E

Além disso, já sabemos que o comprimento da caixa pode ser dado por:

Onde R é o comprimento médio da ligação C - C. Portanto, a menor transição de energia é dada por:

Substituímos E:

Agora substituímos o L:

Isolamos o termo em comum:

Calma que estamos acabandoo!

Vamos só substituir n:

Resolvendo:

Agora, precisamos lembrar que quanto maior o comprimento de onda menor a energia. Se a energia é menor, a variação entre elas será maior.

Concluindo, para uma variação de energia maior precisamos de mais átomo de carbono, N.

Certinho?