5 – Verifique que a componente z do momento angular orbital é uma base para a representação irredutível de simetria A2 no grupo C3v.

Passo 1

Nós vamos examinar como a operações do grupo C3v afetam o operador Iz = xpy – ypx quando este é aplicado.

Vamos precisar dos valores dos caracteres para a espécie de simetria A2 do grupo C3v, que pode encontrar na seção de dados do Atkins.

Assim, pela seção de dados do Atkins, temos que para A2

E = 1 ; σ v = - 1 ;   C 3 = 1

Passo 2

Fazendo a transformação linear dos elementos de simetria, as transformações de x, y e z pela analogia de px, py, pz, são:

E x , y , z → x , y , z

σ v x , y , z → - x , y , z

σ ' v x , y , z → x , - y , z

σ ' ' v x , y , z → x , y , - z

C 3 + x , y , z → - 0,5 x + 0,5 3 y ; - 0,5 3 x - 0,5 y ; z

C 3 - x , y , z → - 0,5 x - 0,5 3 y ; 0,5 3 x - 0,5 y ; z

Passo 3

Os caracteres de todos as operações de σ são os mesmos, com aqueles que estão em ambos as operações de C3, consequentemente nós precisamos considerar que somente uma operação em cada classe.

Para E:

E I z = x p y - y p x = I z

Para σv:

σ v I z = - x p y + y p x = - I z

Pois,

x , y , z → - x , y , z

Passo 4

Para C3+:

C 3 + I z = - 0,5 x + 0,5 3 y - 0,5 3 p x - 0,5 p y - - 0,5 3 x - 0,5 y - 0,5 p x + 0,5 3 p y

Pois,

( x , y , z ) = - 0,5 x + 0,5 3 y ; - 0,5 3 x - 0,5 y ; z

C 3 + I z = 0,25 ( 3 x p x + x p y - 3 y p x - 3 y p y - 3 x p x + 3 x p y - y p x + 3 y p y )

C 3 + I z = x p y - y p x = I z

Os representativos de E, σv, e C3+ são com isso todas matrizes unidimensionais com elementos 1, -1 e 1, respectivamente. Isso segue que Iz é uma base para A2.

Resposta

E I z = I z ; E = 1

σ v I z = - I z ; σ v = - 1

C 3 + I z = I z ; C 3 + = 1

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