Exercícios Resolvidos de Sistemas de segunda ordem

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Enunciado

Para a resposta ao degrau unitário mostrada abaixo, obtenha a função de transferência aproximada do sistema.

Passo 1

Bora lá?

O exercício pede que gente encontre a função de transferência para a resposta que é mostrada no gráfico, para isso precisamos encontrar o ganho ( K ), a constante de tempo ( τ ), e o fator de amortecimento ( ζ ).

Y s X s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Passo 2

Vamos começar pelo ganho que é o mais direto.

O ganho, pela definição pode ser calculado pela variação da variável de saída (gráfico) sobre a variação da variável de entrada, que é o degrau unitário.

K = 1 - 0 1 = 1

Passo 3

O fator de amortecimento pode ser calculado através do overshoot ( O S ). Overshoot é a razão entre o quanto o primeiro pico excede o valor do estado estacionário e a variação do estado estacionário.

O S = 1,4 - 1 1 - 0 = 0,4

Porém, existem uma fórmula que relaciona o fator de amortecimento com o overshoot:

O S =   e - π ζ 1 - ζ 2

0,4 = e - π ζ 1 - ζ 2

π ζ 1 - ζ 2 = 0,916  

ζ 1 - ζ 2 = 0,292

Elevando os dois lados ao quadrado:

ζ 2 1 - ζ 2 = 0,085

ζ 2 = 0,085 - 0,085 ζ 2

1,085 ζ 2 = 0,085

ζ = 0,28

Passo 4

Para encontrar a constante de tempo, τ , podemos usar o tempo de estabilização ( t s ) ou o tempo do primeiro pic0 ( t p ).

Você usa o que achar melhor, ou o que estiver mais fácil de visualizar no gráfico.

Usando o tempo de estabilização para uma faixa de 5 % . Podemos estimar pelo gráfico que esse tempo é atingido em aproximadamente 15   segundos:

t s = 3 τ ζ

15 = 3 τ 0,28

τ = 1,4   s e g

Estimando o tempo do primeiro pico como aproximadamente 4,6 segundos:

t p =   π τ 1 - ζ 2

4,6 =   π τ 1 - 0,28 2

τ = 1,4

Passo 5

O último passo é substituir tudo na função de transferência padrão:

Y s X s = K τ 2 s 2 + 2 τ ζ s + 1

Y s X s = 1 1,96 s 2 + 0,784 s + 1

Resposta

Y s X s = 1 1,96 s 2 + 0,784 s + 1