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Enunciado

Termodinâmica - Van Wylen- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 113

A Fig. P3.113 mostra um conjunto cilindro-pistão com diâmetro igual a de 0,1   m . A mola tem comportamento linear com constante de proporcionalidade igual a 80   k N / m . Inicialmente, o pistão está encostado nos esbarros e o volume confinado no cilindro é igual a 1   L . A válvula é então aberta e o pistão começa a se mover quando a pressão do ar atinge 150   k P a . Quando o volume interno atinge 1,5   L a válvula é fechada e, nesta condição, a temperatura do ar no cilindro é 80 ° C . Determine, no estado final, a massa de ar contida no conjunto.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Bora calcular mais uma.

Seguinte pessoal, temos 3 estados.

Estado inicial em que o pistão este parado e temos um volume de V 1 = 1 L .

Estado 2 em que o pistão começa a se deslocar, este estado dura até o momento em que ele para. Perceba que o volume do estado 1 para o 2 é igual, pois, o que está variando é a pressão de P 2 = 150   k P a .

Estado 3 em que nosso pistão parou e temos o volume de V 3 = 1,5   L e T 3 = 80 ° C . Já vamos converter isso para Kelvin: T 3 = 80 ° C + 273,15 K = 353,15   K .

Temos o seguinte precisamos determinar a pressão final P 3 , porque é único dado que falta para podermos utilizar a fórmula do gás real:

P 3 V 3 = m 3 R T 3

Assim como a temperatura, bora converter os volumes para metros cúbicos:

V 1 = 1   L ∙ 10 - 3 = 0,001   m 3

V 2 = 1,5 L ∙ 10 - 3 = 0,0015   m 3

Passo 2

Partiu determinar a pressão P 3 .

Pessoal vamos pensar, quantas pressões estão atuando no nosso sistema?

Temos a pressão da mola e a pressão do estado 2, momento em que o ar comprimido foi injetado. Portanto P 3 fica:

P 3 = P 2 + P m o l a

Passo 3

Só relembrando como vai funcionar a pressão da mola.

Temos que pressão é definida por:

P = F A

A força que uma mola gera é definida pela lei de Hooke:

F m o l a = k ∙ Δ x

Ai você agora fica doido, ta e como vamos saber o deslocamento da mola?

Nós temos uma variação do volume correto?

O volume V 3 - V 2 resulta na variação do volume. Se nós dividirmos o volume pela área do seu recipiente o que sobra?

Sobra a altura da coluna deste volume justamente o nosso Δ x , vamos escrever isso de uma forma matemática.

Δ x = Δ V A p = V 3 - V 2 π 4 ∙ r 2

Substituindo o nosso novo Δ x na formula da força e substituindo a força da bola na definição da pressão, temos a pressão da mola:

F m o l a = k ∙ Δ V A p

P m o l a = k ∙ Δ V A p A p = k ∙ Δ V A p 2

Passo 4

Retomando o cálculo da pressão P 3 , fica:

P 3 = P 2 + P m o l a

P 3 = P 2 + k ∙ Δ V A p 2

Substituindo valores:

P 3 = 150 + 80 ∙ 10 3 ∙ 0,0015 - 0,001 π 4 ∙ 0,1 2 2 ∙ 100

P 3 = 798,5   k P a

Passo 5

Vamos para o final, ufa, com a pressão do estado final calculada, vamos aplicar a fórmula do gás e temos:

A constante do gás ar pode ser encontrada na tabela A . 5 , R = 0,287   k J / k g K

P 3 V 3 = m 3 R T 3

m 3 = P 3 V 3 R T 3

m 3 = 798,5 ∙ 0,0015 0,287 ∙ 353,15 = 0,012   k g

Resposta

m 3 = 0,012   k g

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