Enunciado

Oxigênio escoa a 230   K e 5   M P a numa tubulação. O escoamento é então estrangulado, em regime permanente, até a pressão de 100   k P a . Determine a temperatura final e a geração de entropia neste processo utilizando a equação de estado de Redlich-Kwong e o calor específico

A pressão zero. Observe que a solução desse problema é iterativa porque a relações entre h ,   p ,   v e T não são lineares.

Passo 1

Opa, tubo bem?

Me acompanha na resolução desse problema?

Bora lá!

Começamos nosso problema analisando o processo de estrangulamento, por ele não possuir transferência de calor e trabalho, quando aplicamos a equação de energia, temos:

h 1 = h 2

Já a de entropia:

s g e r = s 2 - s 1

Expondo a equação de estado de Redlich-Kwong:

p = R T v - b - a v v + b T 1 2

Obtendo a derivada da pressão em relação a temperatura, obtemos:

∂ p ∂ T v = R v - b + a 2 v v + b T 3 2

Passo 2

Pela Eq. 13.31, assumindo um c p constante, temos:

d u T = T ∂ p ∂ T v - p d v T

Substituindo os termos:

u 2 - u 1 T = ∫ 1 2 T R v - b + a 2 v v + b T 3 2 - R T v - b - a v v + b T 1 2 d v T

u 2 - u 1 T = ∫ 1 2 3 a 2 v v + b T 1 2 d v T

Integrando:

u 2 - u 1 T = - 3 a 2 b T 1 2 ln ⁡ v 2 + b v 2 v 1 + b v 1

Passo 3

Sendo:

u 2 - u 1 T = h 2 - h 1 T - p 2 V 2 + p 1 V 1

Então:

h 2 - h 1 T = p 2 V 2 - p 1 V 1 + u 2 - u 1 T

Substituindo u 2 - u 1 T :

h 2 - h 1 T = p 2 V 2 - p 1 V 1 - 3 a 2 b T 1 2 ln ⁡ v 2 + b v 2 v 1 + b v 1

Passo 4

Pela Eq.13.34, considerando um c p constante, temos:

d s T = ∂ p ∂ T v d v

Substituindo o termo, temos:

s 2 - s 1 T = ∫ 1 2 R v - b + a 2 v v + b T 3 2 d v

Integrando, obtemos:

s 2 - s 1 T = R ln ⁡ v 2 - b v 1 - b - a 2 b T 3 2 ln ⁡ v 2 + b v 2 v 1 v 1 + b

Passo 5

Pelas tabelas do Apêndice A, obtemos para o Oxigênio:

T c = 154,6   K

p c = 5040   k P a

R = 0,2598   k J / k g ⋅ K

Com essas propriedades, conseguimos calcular os coeficientes a e b :

a = 0,2748 ⋅ R 2 T c 5 2 p c   = 0,2748 ⋅ 0,2598 2 ⋅ 154,6 2 5040 = 1,7013

b = 0,08664 ⋅ R T c p c = 0,08664 ⋅ 0,2598 ⋅ 154,6 5040 = 0,0006905   m 3 / k g

Passo 6

O problema nos pede T 2 e a equação de energia do processo apresentada no Passo 1 deve ser satisfeita, então:

h 2 - h 1 = h 2 + h x - h 1 = c p T 2 - T 1 + h 2 - h 1 T = 0

Iremos avaliá-lo de forma semelhante à Fig. 13.4, onde o primeiro termo vai do estado x para 2 e o segundo termo, do estado 1 para o estado x (em T 1 = 230   K ).

Fazemos isso assumindo que o estado 2 está próximo do gás ideal, mas não conhecemos T 2 .

Mas, primeiro, devemos calcular v 1 , por tentativa e erro, que satisfaça p = 5   M P a :

p = R T v - b - a v v + b T 1 2 = 0,2598 ⋅ 230 v - 0,0006905 - 1,7013 v v + 0,0006905 ⋅ 230 1 2

Assumindo diferentes valores para v :

v 1 = 0,011   m 3 / k g → p 1 = 4924   k P a

v 1 = 0,01 082   m 3 / k g → p 1 = 4998,3   k P a

O K !

Passo 7

Agora avaliaremos a variação em h ao longo do estado 1, de 230   K , para o estado x , que requer um valor para v x . Considerando o gás ideal em T x = 230   K :

v x = R T x p 2 = 0,2598 ⋅ 230 100 = 0,59754   m 3 / k g

Repetindo o Passo anterior:

p 2 = 99,802   k P a

P e r t o ,   m a s   n ã o   s a t i f a t ó r i o !

Para:

v x = 0,59635   m 3 / k g

p 2 = 100,0006   k P a

O K !

Passo 8

Voltando na Eq. Do Passo 3, aplicando para os estados x e 1 , substituindo os dados, obtemos:

h x - h 1 T = p x V x - p 1 V 1 - 3 a 2 b T 1 2 ln ⁡ v x + b v x v 1 + b v 1

h x - h 1 T = 0,59635 ⋅ 100,0006 - 500 ⋅ 0,01082 - 3 ⋅ 1,7013 2 ⋅ 0,0006905 ⋅ 230 1 2 ⋅ ln ⁡ 0,59635 + 0,0006905 0,59635 ⋅ 0,01082 + 0,0006905 0,01082

h x - h 1 T = 20,32   k J / k g

Pela equação de energia incialmente proposta, conseguimos calcular T 2 :

h x - h 1 T = c p ( T 2 - T 1 )

Sendo:

c p = 0,922   k J / k g ⋅ K

Temos:

20,32 = 0,922 ⋅ ( T 2 - 230 )

T 2 = 208   K

Passo 9

Para finalizarmos a nossa questão, a geração de entropia é dada:

s g e r = s 2 - s 1 = s x - s 1 T + s 2 - s x

s g e r = R ln ⁡ v x - b v 1 - b - a 2 b T 3 2 ln ⁡ v x + b v x v 1 v 1 + b + c p ln ⁡ T 2 T x

s g e r = 0,2598 ⋅ ln ⁡ 0,59635 - 0,0006905 0,01082 - 0,0006905 - 1,7013 2 ⋅ 0,0006905 ⋅ 230 3 2 ⋅ ln ⁡ 0,59635 + 0,0006905 0,59635 ⋅ 0,01082 0,01082 + 0,0006905 + 0,922 ln ⁡ 208 230

Assim, temos que:

s g e r = 0,987   k J / k g ⋅ K

Ufa!

E assim finalizamos a nossa questão!

Até a próxima!

Resposta

T 2 = 208   K

s g e r = 0,987   k J / k g ⋅ K

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