Trabalho de Escoamento e Entalpia

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Teoria

Existem equações para calcular E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a ?

Vimos na teoria passada que a primeira lei da termodinâmica para volumes de controle pode ser escrita como:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

Nós já sabemos que a taxa de trabalho W ˙ pode ser calculada através de algumas equações específicas para cada tipo de trabalho. A taxa de calor Q ˙ também possui uma fórmula para cada tipo de transferência de calor. Existe alguma equação para calcular E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a ?

Sim! Existe uma equação para calcular E ˙ e , m a s s a e outra para calcular E ˙ s , m a s s a . Cada uma delas será explicada em detalhes a partir de agora! No entanto, para a explicação ficar mais fácil, usaremos um exemplo.

A fórmula para calcular E ˙ e , m a s s a pode ser dividida em duas partes

Imagine que estamos tentando encher um tanque rígido com gás. Considere que o nosso volume de controle seja sempre o gás que já está contido no tanque. No momento em que abrimos a válvula, uma vazão mássica m ˙ e começa a entrar no volume. Qual a taxa de energia ( E ˙ e , m a s s a ) que o volume de controle ganha com essa entrada de massa?

Podemos refazer essa pergunta para conseguir aplicar a primeira lei nesse exemplo. Qual é a taxa de variação da energia dentro do volume de controle d E V . C . d t , quando ele recebe uma vazão mássica m ˙ e ? Você pode notar que esse volume de controle não troca energia com a vizinhança por calor ou trabalho. Só por entrada massa. Logo, para esse volume de controle:

d E V . C . d t = E ˙ e , m a s s a

onde e e é a energia total contida dentro da vazão m ˙ e .

Vemos através da figura acima que o ganho de energia E ˙ e , m a s s a pode ser dividido em dois: uma parte é a energia contida na massa que está entrando m ˙ e ⋅ e e . A outra parte é a energia que essa vazão m ˙ e dá pra massa que já está dentro m V . C . , quando empurra ela para conseguir entrar. Quanto vale a taxa de energia que entra no volume através dessa segunda parte?

A segunda parte da fórmula de E ˙ e , m a s s a é a taxa de trabalho de escoamento W ˙ e s c o a m e n t o

Vemos através da imagem anterior que a vazão m ˙ e tem que empurrar a massa que já está no volume de controle m V . C . com uma força para conseguir entrar. Isso significa que a vazão m ˙ e está realizando trabalho na massa m V . C . . Chamamos esse trabalho de trabalho de escoamento W e s c o a m e n t o . Mas como podemos fazer o cálculo desse novo tipo de trabalho?

Como está mostrado na figura de cima, esse trabalho é igualzinho ao trabalho que o pistão realiza sobre um gás, quando empurra ele. Por isso, podemos usar a mesma fórmula que utilizamos para o trabalho de um pistão.

W e s c o a m e n t o = P e ⋅ Δ V V . C .

onde:

  • P e é a pressão do gás que está entrando;
  • Δ V V . C . é a variação do volume da massa m V . C . , quando o gás entra.

A massa que já estava no volume de controle é comprimida, porque um volume V e de gás acabou de entrar e dividir espaço com a massa m V . C . que estava sozinha antes. Portanto, o volume de m V . C . perdeu um espaço igual a V e . Logo:

Δ V V . C . = V e

Podemos calcular o volume V e através do volume específico v e da massa m e que está entrando.

V e = m e ⋅ v e

Por causa disso, o trabalho de escoamento passa a ter uma nova fórmula:

W e s c o a m e n t o = m e ⋅ P e ⋅ v e

Esse é o trabalho total realizado sobre o volume de controle, quando a massa m e entra nele. Como podemos calcular o trabalho realizado sobre o volume de controle por segundo, quando a vazão m ˙ e entra no seu espaço?

Se o trabalho de escoamento W e s c o a m e n t o é calculado multiplicando P e ⋅ v e pela quantidade de massa que entra m e , então o trabalho de escoamento por segundo W ˙ e s c o a m e n t o é calculado multiplicando P e ⋅ v e pela quantidade de massa que entra por segundo m ˙ e .

W ˙ e s c o a m e n t o = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e

onde W ˙ e s c o a m e n t o é a taxa de trabalho de escoamento sobre o volume de controle. Sua unidade no Sistema Internacional (S.I.) é o joule por segundo J / s ou o watt W .

Ou seja, ela é calculada substituindo a massa m e pela vazão m ˙ e .

A soma das duas partes de E ˙ e , m a s s a é a entalpia específica da vazão de entrada h e

Agora que temos uma fórmula para cada parte de E ˙ e , m a s s a queremos saber qual é a fórmula de E ˙ e , m a s s a total. Essa taxa de energia que entra no volume de controle é igual à taxa de trabalho de escoamento W ˙ e s c o a m e n t o mais a energia da vazão que entra no volume de controle m ˙ e ⋅ e e .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e ⏟ W ˙ e s c o a m e n t o + m ˙ e ⋅ u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e ⏟ e e

onde:

  • u e é a energia interna específica da massa que está entrando no volume de controle. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades é o joule por quilograma J / k g ;
  • ν e é a velocidade da massa que está entrando no volume de controle. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades é o metro por segundo m / s ;
  • Z e é a altura da massa que está entrando no volume de controle. Sua unidade no Sistema Internacional de Unidades é o metro m .

Deixando a vazão de entrada m ˙ e em evidência e juntando as duas partes, a equação vira:

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e ⏟ h e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Vemos na fórmula que a soma dos dois pedaços fez a entalpia específica da massa que está entrando no volume de controle h e aparecer! Ou seja, a entalpia ganha um novo significado! Ela é a soma da energia interna específica da substância u mais o seu trabalho de escoamento P ⋅ v ! Com isso:

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ h e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Pronto, achamos a fórmula da taxa de energia que entra no volume de controle por conta da entrada de massa E ˙ e , m a s s a . Agora só precisamos encontrar E ˙ s , m a s s a para conhecer a primeira lei de volume de controle completa. Então vamos fazer isso agora!

A fórmula para calcular E ˙ s , m a s s a

Para encontrar uma equação para a taxa de energia que sai do volume de controle junto com a vazão de saída E ˙ s , m a s s a , nós temos que cumprir as mesmas etapas! Só o exemplo inicial que vai mudar. Agora, vamos imaginar um tanque rígido sendo esvaziado. Qual é a taxa de energia ( E ˙ s , m a s s a ) que o volume de controle perde com essa saída de massa a uma vazão m ˙ s ?

Assim como E ˙ e , m a s s a , E ˙ s , m a s s a também pode ser dividido em duas partes. Além disso, a segunda parte também é a taxa de trabalho de escoamento W ˙ . Então espera aí! Se esses dois termos tem tantas características em comum, será que têm equações iguaizinhas? Saber disso facilitaria muito, porque evitaria todo aquele passo a passo para achar uma só equação!

Esse chute foi certeiro! Esses dois termos são bem parecidos! A única adaptação que precisamos fazer é mudar o índice “ e ” da equação de E ˙ e , m a s s a , que indica a massa que entra, pelo índice “s” que indica a massa que sai!

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s ⏟ h s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s ⟹ E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ h s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

A fórmula final da primeira lei para volumes de controle

Substituindo as fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a na equação de conservação de energia para o volume de controle, chegamos na fórmula completa da primeira lei para volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + m ˙ e ⋅ h e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e ⏟ E ˙ e , m a s s a - m ˙ s ⋅ h s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s ⏟ E ˙ s , m a s s a

Calma, eu sei que essa equação é enorme! No entanto, na maioria das vezes, a gente vai usar uma forma menor dessa equação. Geralmente, a diferença de altura da massa que entra e da massa que sai são desprezíveis. A diferença de velocidade entre essas duas massas também é desprezada em vários casos. Por causa disso, a fórmula pode ser reduzida para:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + m ˙ e ⋅ h e - m ˙ s ⋅ h s

A segunda parte da fórmula de E ˙ e , m a s s a é a taxa de trabalho de escoamento W ˙ e s c o a m e n t o

A soma das duas partes de E ˙ e , m a s s a é a entalpia específica da vazão de entrada h e

A fórmula para calcular E ˙ s , m a s s a

A fórmula final da primeira lei para volumes de controle

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Um tanque rígido contendo vapor d’água vaza 5   k g / s de vapor d’água saturado a 200   ° C . Calcule a taxa de energia que o tanque rígido perde devido à saída desse vapor. Use a tabela abaixo. Considere a energia cinética e a energia potencial do vapor saturado desprezíveis.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de energia E ˙ s , m a s s a que o tanque rígido perde devido à saída desse vapor. A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular o valor de E ˙ s , m a s s a .

T é a temperatura do vapor saturado d’água e m ˙ s é a vazão mássica do vapor saindo do tanque.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular E ˙ s , m a s s a .

Passo 2

A taxa de energia E ˙ s , m a s s a que o tanque rígido perde devido à saída desse vapor é calculada pela fórmula abaixo. A energia cinética e a energia potencial do vapor não estão presentes nessa fórmula, porque o enunciado informou que seus valores são tão pequenos que podemos desprezá-los.

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ h s

onde h s é a entalpia específica do vapor saturado saindo no tanque rígido.

O valor de h s está presente na tabela de saturação. h s está na mesma linha que a temperatura de 20 0   ° C e na mesma coluna que a entalpia específica do vapor saturado h V .

Agora que sabemos como encontrar o valor de todos os termos, vamos começar a fazer contas!

Passo 3

O valor de H v é obtido abaixo!

h V = 2793,18   k J k g

Usando esses valores na fórmula de E ˙ s , m a s s a , encontramos:

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ h s       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 5 ⋅ 2793,18       ⟹       E ˙ s , m a s s a = 13965 , 9   k W

Resposta

E ˙ s , m a s s a = 13965 , 9   k W

Exercício Resolvido #2

Um tanque rígido contendo vapor d’água recebe 2   k g / s de vapor d’água saturado a 190   ° C . Calcule a taxa de trabalho de escoamento do vapor d’água saturado que entra no tanque. Use a tabela abaixo.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de trabalho de escoamento W ˙ e s c o a m e n t o do vapor d’água saturado. Esse vapor saturado realiza trabalho empurrando o vapor presente no tanque. Ele faz isso para abrir espaço no tanque e entrar no volume de controle. A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

T é a temperatura do vapor saturado d’água e m ˙ e é a vazão mássica do vapor entrando no tanque.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular a taxa de trabalho de escoamento.

Passo 2

A taxa de trabalho de escoamento é calculada pela fórmula abaixo.

W ˙ e s c o a m e n t o = m ˙ e ⋅ P ⋅ v

onde P é a pressão do vapor saturado e v é o volume específico do vapor saturado.

Os valores de P e v estão presentes na tabela de saturação. v está na mesma linha que a temperatura de 190   ° C e na mesma coluna que o volume específico v V . P está na mesma linha que a temperatura de 190   ° C e na mesma coluna que a pressão P .

Agora que sabemos como encontrar o valor de todos os termos, vamos começar a fazer contas!

Passo 3

Os valores de P e v são obtidos abaixo!

P = 1254,4   k P a

v = 0,15654   m 3 k g

Usando esses valores na fórmula de trabalho de escoamento, encontramos:

W ˙ e s c o a m e n t o = m ˙ e ⋅ P ⋅ v

W ˙ e s c o a m e n t o = 2 ⋅ 1254,4 ⋅ 0,15654

W ˙ e s c o a m e n t o = 392,7   k W

Resposta

W ˙ e s c o a m e n t o = 392,7   k W

Exercício Resolvido #3

Água líquida saturada a 125   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 2   m / s através de uma tubulação com 0,15   m de diâmetro. A água é aquecida dentro do tanque e sai dele como vapor saturado a 150   k P a com uma velocidade de 1   m / s por um tubo com 0,3   m de diâmetro. Considerando a energia potencial da água desprezível, calcule a taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água d E m a s s a d t . Perceba que o tanque também recebe energia por calor, porque é aquecido. No entanto, o enunciado só quer saber da parcela de energia que o tanque troca através da entrada e da saída de água. A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água líquida saturada entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e . P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade do vapor saturado d’água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s . P s é a pressão desse vapor.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E m a s s a d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque devido à entrada e saída de massa se encontra abaixo.

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água e E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo. A energia potencial da água não está presente nessas fórmulas, porque o enunciado falou que ela é desprezível.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ h e + ν e 2 2

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ h s + ν s 2 2

m ˙ e é a vazão mássica e h e é a entalpia específica da água líquida que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e h s é a entalpia específica do vapor d’água que sai do tanque.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = 1 v e

ρ s = 1 v s

v e é o volume específico da água líquida que entra no tanque e v s é o volume específico do vapor d’água que sai do tanque.

Agora que conhecemos essas fórmulas, temos que aprender a encontrar os valores de v e , v s , h e e h s .

Passo 4

Os valores de v e , v s , h e e h s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 125   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s está na mesma linha que a pressão de 150   k P a e na mesma coluna que o volume específico v V . h e está na mesma linha que a pressão de 125   k P a e na mesma coluna que a entalpia específica h l . h s está na mesma linha que a pressão de 150   k P a e na mesma coluna que a entalpia específica h V .

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 5

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , h e e h s na tabela de saturação. v e e h e são obtidos abaixo.

v e = 0,001048   m 3 k g

h e = 444,30   k J k g

v s e h s são obtidos abaixo.

v s = 1,15933   m 3 k g

h s = 2693,54   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e a taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t .

Passo 6

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = 1 v e       ⟹       ρ e = 1 0,001048       ⟹       ρ e = 954,2   k g m 3

ρ s = 1 v s       ⟹       ρ s = 1 1,15933       ⟹       ρ s = 0,8626   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 954,2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0 , 15 2 4       ⟹       m ˙ e = 33,72   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,8626 ⋅ 1 ⋅ π ⋅ 0,30 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,0610   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ h e + ν e 2 2

Cuidado! Para a parcela de energia cinética ficar na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir a parcela por mil!

E ˙ e , m a s s a = 33,72   ⋅ 444,30 + 2 2 2 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 14981,9   k W

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ h s + ν s 2 2

E ˙ s , m a s s a = 0,0610 ⋅ 2693,54 + 1 2 2 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 164,3   k W

Por fim, d E m a s s a d t vale:

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E m a s s a d t = 14981,9 - 164,3

d E m a s s a d t = 14817,6   k W

Resposta

d E m a s s a d t = 14817,6   k W

Exercício Resolvido #4

Água líquida saturada a 75   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 2   m / s através de uma tubulação com 0,1   m de diâmetro. A água é aquecida dentro do tanque e sai dele como vapor saturado a 125   k P a com uma velocidade de 3   m / s por um tubo com 0,2   m de diâmetro. Considerando a energia potencial da água desprezível, calcule a taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água d E m a s s a d t . Perceba que o tanque também recebe energia por calor, porque é aquecido. No entanto, o enunciado só quer saber da parcela de energia que o tanque troca através da entrada e da saída de água. A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água líquida saturada entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e . P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade do vapor saturado d’água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s . P s é a pressão desse vapor.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E m a s s a d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque devido à entrada e saída de massa se encontra abaixo.

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água e E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo. A energia potencial da água não está presente nessas fórmulas, porque o enunciado falou que ela é desprezível.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água líquida que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica do vapor d’água que sai do tanque.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 75   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s está na mesma linha que a pressão de 125   k P a e na mesma coluna que o volume específico v V . u e está na mesma linha que a pressão de 75   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l . u s está na mesma linha que a pressão de 125   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u V .

Vamos aprender a calcular m ˙ e e m ˙ s no passo seguinte!

Passo 4

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = 1 v e

ρ s = 1 v s

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 5

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação. v e e u e são obtidos abaixo.

v e = 0,001037   m 3 k g

u e = 384,29   k J k g

v s e u s são obtidos abaixo.

v s = 1,37490   m 3 k g

u s = 2513,48   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e a taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t .

Passo 6

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = 1 v e       ⟹       ρ e = 1 0,001037       ⟹       ρ e = 964,3   k g m 3

ρ s = 1 v s       ⟹       ρ s = 1 1,37490       ⟹       ρ s = 0,7273   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 964,3 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0 , 1 2 4       ⟹       m ˙ e = 15,15   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,7273 ⋅ 3 ⋅ π ⋅ 0,2 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,07   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2

Cuidado! Para a parcela de energia cinética ficar na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir a parcela por mil!

E ˙ e , m a s s a = 15,15 ⋅ 75 ⋅ 0,001037 + 384,29 + 2 2 2 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 5823,2   k W

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2

E ˙ s , m a s s a = 0,07 ⋅ 125 ⋅ 1,37490 + 2513,48 + 3 2 2 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 188,0   k W

Por fim, d E m a s s a d t vale:

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E m a s s a d t = 5823,2 - 188,0

d E m a s s a d t = 5635,2   k W

Resposta

d E m a s s a d t = 5635,2   k W

Exercício Resolvido #5

Água líquida saturada a 50   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 4   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 10   m em relação ao solo. A água sai do tanque como líquido saturado a 150   k P a com uma velocidade de 9   m / s por um tubo com 0,15   m de diâmetro e a uma altura de 1   m em relação ao solo. Determine a taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido devido à entrada e à saída de água d E m a s s a d t . Ou seja, o enunciado só quer saber da parcela de energia que o tanque troca através da entrada e da saída de água. Ele não está interessado na troca de energia por calor ou trabalho com o ambiente. A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade da água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água. No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E m a s s a d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque devido à entrada e saída de massa se encontra abaixo.

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água e E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica da água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s está na mesma linha que a pressão de 150   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l .

u e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l . u s está na mesma linha que a pressão de 150   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l .

Vamos aprender a calcular m ˙ e e m ˙ s no passo seguinte!

Passo 4

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = 1 v e

ρ s = 1 v s

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 5

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação. v e e u e são obtidos abaixo.

v e = 0,001030   m 3 k g

u e = 340,42   k J k g

v s e u s são obtidos abaixo.

v s = 0,001053   m 3 k g

u s = 466,92   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões, e E ˙ e , m a s s a .

Passo 6

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = 1 v e       ⟹       ρ e = 1 0,001030       ⟹       ρ e = 970,8   k g m 3

ρ s = 1 v s       ⟹       ρ s = 1 0,001053       ⟹       ρ s = 949,7   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 970,8 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 0 , 05 2 4       ⟹       m ˙ e = 7,625   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 949,7 ⋅ 9 ⋅ π ⋅ 0,15 2 4       ⟹       m ˙ s = 151,0   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 7,625 ⋅ 50 ⋅ 0,001030 + 340,42 + 4 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 10 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 2596,9   k W

Vamos partir para o cálculo de E ˙ s , m a s s a e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 7

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 151,0 ⋅ 150 ⋅ 0,001053 + 466,92 + 9 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 1 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 70536,3   k W

Por fim, d E m a s s a d t vale:

d E m a s s a d t = E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E m a s s a d t = 2596,9 - 70536,3

d E m a s s a d t = - 67939,4   k W

Resposta

d E m a s s a d t = - 67939,4   k W

Exercício Resolvido #6

Água líquida saturada a 50   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 0,5   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 0,5   m em relação ao solo. A água recebe calor dentro do tanque a uma taxa de 200   k W . Ela sai do tanque como vapor saturado a mesma pressão da sua entrada, com uma velocidade de 20   m / s por um tubo com 0,15   m de diâmetro e a uma altura de 15   m em relação ao solo. Determine a taxa de variação da energia do tanque rígido.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido d E d t . A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade do vapor d’água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água. Q ˙ é a taxa de calor que a água recebe.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque se encontra abaixo. Ela é a primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água, E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água e W ˙ é a taxa de trabalho que a água do tanque realiza.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica do vapor d’água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que o volume específico v V .

u e está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l . u s está na mesma linha que a pressão de 50   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u V .

Vamos aprender a calcular m ˙ e e m ˙ s no passo seguinte!

Passo 4

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = 1 v e

ρ s = 1 v s

Agora só falta aprender a calcular W ˙ para poder iniciar as contas.

Passo 5

Na verdade, W ˙ não vai precisar ser calculado!

Como a água está dentro de um tanque rígido e ela está mudando de fase, ela sempre ocupa o mesmo volume. Isso quer dizer que a fronteira da água do tanque não se movimenta. Ou seja, não existe trabalho por movimento de fronteira nesse problema! Por conta disso:

W ˙ = 0   k W

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 6

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação. v e e u e são obtidos abaixo.

v e = 0,001030   m 3 k g

u e = 340,42   k J k g

v s e u s são obtidos abaixo.

v s = 3,24034   m 3 k g

u s = 2483,85   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e E ˙ e , m a s s a .

Passo 7

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = 1 v e       ⟹       ρ e = 1 0,001030       ⟹       ρ e = 970,8   k g m 3

ρ s = 1 v s       ⟹       ρ s = 1 3,24034       ⟹       ρ s = 0,3086   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 970,8 ⋅ 0,5 ⋅ π ⋅ 0 , 05 2 4       ⟹       m ˙ e = 0,9531   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,3086 ⋅ 20 ⋅ π ⋅ 0,15 2 4       ⟹       m ˙ s = 0,1091   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 0,9531 ⋅ 50 ⋅ 0,001030 + 340,42 + 0,5 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 0,5 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 324,5   k W

Vamos partir para o cálculo de E ˙ s , m a s s a e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 8

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 0,1091 ⋅ 50 ⋅ 3,24034 + 2483,85 + 20 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 15 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 288,7   k W

Por fim, d E d t vale:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E d t = 200 - 0 + 324,5 - 288,7

d E d t = 235,8   k W

Resposta

d E d t = 235,8   k W

Exercício Resolvido #7

Água líquida saturada a 100   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 0,2   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 0,5   m em relação ao solo. A água sai do tanque como líquido saturado a mesma pressão da sua entrada, com uma velocidade de 2,5   m / s por um tubo com 0,1   m de diâmetro e a uma altura de 2   m em relação ao solo. Determine a taxa de variação da energia do tanque rígido, considerando que a água do interior do tanque também permanece saturada a 100   k P a a todo momento e que todo o processo é adiabático.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia do tanque rígido d E d t . A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. ν s é a velocidade da água saindo do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água.

No próximo passo, veremos qual fórmula é usada para calcular d E d t .

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque se encontra abaixo. Ela é a primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água, E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água e W ˙ é a taxa de trabalho que a água do tanque realiza.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico e u s é a energia interna específica da água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s é igual a v e , porque a água que entra e a água que sai estão no mesmo estado!

u e e u s estão na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l .

Vamos aprender a calcular m ˙ e , m ˙ s e Q ˙ no passo seguinte!

Passo 4

Na verdade, Q ˙ não precisa ser calculado! Como o enunciado diz que o processo de troca de massa com o ambiente é adiabático, Q ˙ vale zero.

Q ˙ = 0   k W

m ˙ e e m ˙ s são calculadas por fórmulas muito parecidas! Os dois são igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ A s       ⟹       m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = ρ s = 1 v e

Passo 5

Como o tanque recebe e rejeita quantidades diferentes de água líquida, o volume de água do tanque varia a uma taxa igual a d V V . C . d t . Isso significa que a fronteira da água do tanque se mexe e a água realiza trabalho por movimento de fronteira a uma taxa igual a W ˙ .

Como o enunciado diz que a água permanece sempre a mesma pressão de 100   k P a , esse trabalho é isobárico. Logo, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume da água do tanque. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha o dado informado pelo enunciado ( P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

d V V . C . d t será calculada no próximo passo.

Passo 6

d V V . C . d t pode ser calculada através da equação de conservação de massa para volumes de controle.

d m V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d ρ ⋅ V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s

No entanto, a massa específica da água do tanque ρ é constante e vale a mesma coisa que a massa específica ρ e , porque as duas águas estão saturadas a 100   k P a . Por isso:

ρ ⋅ d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

Substituindo essa equação na fórmula de W ˙ , encontramos uma nova fórmula para W ˙ .

W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t       ⟹       W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 7

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação.

v e = v s = 0,001043   m 3 k g

u e = u s = 417,33   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões e E ˙ e , m a s s a .

Passo 8

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = ρ s = 1 v e       ⟹       ρ e = ρ s = 1 0,001043       ⟹       ρ e = ρ s = 958,8   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 958,8 ⋅ 0,2 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4       ⟹       m ˙ e = 0,3765   k g s

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       m ˙ s = 958,8 ⋅ 2,5 ⋅ π ⋅ 0,1 2 4       ⟹       m ˙ s = 18,83   k g s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 0,3765 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 0,2 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 0,5 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 157,2   k W

Vamos partir para o cálculo de E ˙ s , m a s s a , de W ˙ e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 9

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 18,83 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 2,5 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 2 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 7860,7   k W

W ˙ pode ser achado a partir da fórmula que criamos.

W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ       ⟹       W ˙ = 100 ⋅ 0,3765 - 18,83 958,8       ⟹       W ˙ = - 1,925   k W

Por fim, d E d t vale:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E d t = 0 - - 1,925 + 157,2 - 7860,7

d E d t = - 7701,6   k W

Resposta

d E d t = - 7701,6   k W

Exercício Resolvido #8

Água líquida saturada a 100   k P a entra em um tanque rígido com uma velocidade de 0,2   m / s através de uma tubulação com 0,05   m e a uma altura de 0,5   m em relação ao solo. A água sai do tanque como líquido saturado a mesma pressão da sua entrada por um tubo com 0,1   m de diâmetro e a uma altura de 2   m em relação ao solo. A área da seção transversal do tanque rígido vale 3   m 2 . O nível da água do tanque desce a uma velocidade de 0,1   m / s . Determine a taxa de variação da energia da água do tanque rígido, considerando que a água do interior do tanque também permanece saturada a 100   k P a a todo momento e que todo o processo é adiabático.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o valor da taxa de variação da energia da água do tanque rígido d E d t . A figura abaixo mostra todos os dados que temos para calcular esse valor.

ν e é a velocidade da água entrando no tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D e a uma altura Z e do chão. P e é a pressão da água entrado no tanque rígido. A água sai do tanque rígido por um tubo de diâmetro igual a D s a uma altura Z s do chão. P s é a pressão dessa água. A é a área da seção transversal e d Z V . C . d t é a velocidade com a qual o nível da água do tanque desce.

Ela é negativa, porque a altura desce. Logo, a altura varia negativamente.

Calcularemos d E d t através da primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle. No próximo passo, veremos essa equação.

Passo 2

A fórmula da taxa de variação da energia do tanque se encontra abaixo. Ela é a primeira lei da termodinâmica aplicada ao volume de controle.

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

onde E ˙ e , m a s s a é a taxa de energia que entra no tanque por causa de entrada de água, E ˙ s , m a s s a é a taxa de energia que sai no tanque por causa de saída de água e W ˙ é a taxa de trabalho que a água do tanque realiza.

As fórmulas de E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a encontram-se abaixo.

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

m ˙ e é a vazão mássica, v e é o volume específico e u e é a energia interna específica da água que entra no tanque.   m ˙ s é a vazão mássica, v s é o volume específico, u s é a energia interna específica e ν s é a velocidade da água que sai do tanque. g é a aceleração da gravidade da Terra.

No próximo passo vamos aprender como encontrar os valores de alguns termos das fórmulas!

Passo 3

Os valores de v e , v s , u e e u s estão presentes na tabela de saturação. v e está na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que o volume específico v l . v s é igual a v e , porque a água que entra e a água que sai estão no mesmo estado!

u e e u s estão na mesma linha que a pressão de 100   k P a e na mesma coluna que a energia interna específica u l .

Vamos aprender a calcular m ˙ e e Q ˙ no passo seguinte!

Passo 4

Na verdade, Q ˙ não precisa ser calculado! Como o enunciado diz que o processo de troca de massa com o ambiente é adiabático, Q ˙ vale zero.

Q ˙ = 0   k W

m ˙ e é igual à massa específica da água ρ multiplicada pela velocidade da água ν multiplicada pela área de passagem da água A . Esse área pode ser calculada através do diâmetro do tubo D pelo qual a água passa.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ A e       ⟹       m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4

Além disso, as massas específicas são o inverso dos volumes específicos.

ρ e = ρ s = 1 v e

Passo 5

Como o tanque recebe e rejeita quantidades diferentes de água líquida, o volume de água do tanque varia a uma taxa igual a d V V . C . d t . Isso significa que a fronteira da água do tanque se mexe e a água realiza trabalho por movimento de fronteira a uma taxa igual a W ˙ .

Como o enunciado diz que a água permanece sempre a mesma pressão de 100   k P a , esse trabalho é isobárico. Logo, a quantidade de energia por trabalho que o vapor recebe W , quando a fronteira se movimenta pode ser calculado pela seguinte fórmula.

W = P ⋅ Δ V

Δ V é a variação de volume da água do tanque. No entanto, nós não sabemos quando vale W nem Δ V . Então como fazemos para transformar essa fórmula em uma equação que tenha o dado informado pelo enunciado ( P ) e a taxa de trabalho precisamos achar W ˙ ?

O primeiro passo para transformar a fórmula antiga é dividir todos os termos dessa equação pelo intervalo de tempo de duração processo Δ t .

W Δ t = P ⋅ Δ V Δ t

O passo final é fazer o intervalo de tempo Δ t ficar cada vez menor. No limite, quando Δ t tende a zero, essas divisões viram derivadas! Ou seja, elas viram as taxas de variação em relação ao tempo!

lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = l i m Δ t ⟶ 0 P ⋅ Δ V Δ t       ⟹       lim Δ t ⟶ 0 ⁡ W Δ t = P ⋅ l i m Δ t ⟶ 0 Δ V Δ t       ⟹       W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

d V V . C . d t , m ˙ s e ν s serão calculadas no próximo passo.

Passo 6

d V V . C . d t pode ser calculada através da equação de conservação de massa para volumes de controle.

d m V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d ρ ⋅ V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s

No entanto, a massa específica da água do tanque ρ é constante e vale a mesma coisa que a massa específica ρ e , porque as duas águas estão saturadas a 100   k P a . Por isso:

ρ ⋅ d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s       ⟹       d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

No entanto o volume V V . C . é igual à área da seção transversal do tanque A vezes a altura da água presente nele Z V . C . . Por causa disso, achamos uma fórmula para m ˙ s .

d A ⋅ Z V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

A ⋅ d Z V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

m ˙ s = m ˙ e - ρ ⋅ A ⋅ d Z V . C . d t

A vazão mássica da água que sai do tanque m ˙ s também pode ser calculada por uma fórmula muito parecida com a fórmula de m ˙ e . Com essa equação, conseguimos criar uma fórmula para ν s .

m ˙ s = ρ s ⋅ ν s ⋅ π ⋅ D s 2 4       ⟹       ν s = m ˙ s ρ s ⋅ π ⋅ D s 2 4

Agora que aprendemos tudo isso, podemos começar a fazer as contas!

Passo 7

A primeira parte dos cálculos é de encontrar v e , v s , u e e u s na tabela de saturação.

v e = v s = 0,001043   m 3 k g

u e = u s = 417,33   k J k g

No próximo passo, vamos calcular as vazões.

Passo 8

Começamos os cálculos das vazões pelo cálculo das massas específicas.

ρ e = ρ s = 1 v e       ⟹       ρ e = ρ s = 1 0,001043       ⟹       ρ e = ρ s = 958,8   k g m 3

Com esses valores, podemos achas as vazões mássicas.

m ˙ e = ρ e ⋅ ν e ⋅ π ⋅ D e 2 4       ⟹       m ˙ e = 958,8 ⋅ 0,2 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4       ⟹       m ˙ e = 0,3765   k g s

Sabendo essa vazão, podemos calcular m ˙ s e ν s .

m ˙ s = m ˙ e - ρ ⋅ A ⋅ d Z V . C . d t

m ˙ s = 0,3765   - 958,8 ⋅ 3 ⋅ - 0,1

m ˙ s = 288 , 0165   k g s

ν s = m ˙ s ρ s ⋅ π ⋅ D s 2 4

ν s = 288 , 0165 958,8 ⋅ π ⋅ 0,1 2 4

ν s = 38 , 2   m s

Agora podemos encontrar E ˙ e , m a s s a e E ˙ s , m a s s a .

Passo 9

E ˙ e , m a s s a = m ˙ e ⋅ P e ⋅ v e + u e + ν e 2 2 + g ⋅ Z e

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ e , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ e , m a s s a = 0,3765 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 0,2 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 0,5 / 1000

E ˙ e , m a s s a = 157,2   k W

E ˙ s , m a s s a = m ˙ s ⋅ P s ⋅ v s + u s + ν s 2 2 + g ⋅ Z s

Cuidado! Para as parcelas de energia potencial e energia cinética ficarem na unidade certa na fómula de E ˙ s , m a s s a , precisamos dividir cada uma dessas parcelas por mil!

E ˙ s , m a s s a = 288 , 0165 ⋅ 100 ⋅ 0,001043 + 417,33 + 38 , 2 2 2 / 1000 + 9,81 ⋅ 2 / 1000

E ˙ s , m a s s a = 120443,8   k W

Vamos partir para o cálculo de W ˙ e da taxa de variação de energia do tanque d E m a s s a d t !

Passo 10

W ˙ pode ser achado a partir da fórmula:

W ˙ = P ⋅ d V V . C . d t

No entanto d V V . C . d t pode ser calculado pela fórmula:

d V V . C . d t = m ˙ e - m ˙ s ρ

Logo:

W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ

Substituindo os dados que conhecemos, encontramos:

W ˙ = P ⋅ m ˙ e - m ˙ s ρ       ⟹       W ˙ = 100 ⋅ 0,3765 - 288 , 0165 958,8       ⟹       W ˙ = - 30   k W

Por fim, d E d t vale:

d E d t = Q ˙ - W ˙ + E ˙ e , m a s s a - E ˙ s , m a s s a

d E d t = 0 - - 30 + 157,2 - 120443,8

d E d t = - 120256 , 6   k W

Resposta

d E d t = - 120256 , 6   k W

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