Calcule a transformada de Laplace da seguinte função, indicando para que valores da variável a transformada é válida:
Passo 1
Começamos aplicando a transformada em toda a função:
Tem bastante coisa aí. Vamos resolver essa transformada com calma. Começamos vendo o efeito de na derivada. De forma geral, teremos que:
Então, para o nosso caso vamos ter:
Vamos olhar então para
Para a exponencial, em geral vamos ter:
Ou seja, a transformada vai aparecer deslocada. Então, vamos ter:
Passo 2
Legal. Então chegamos finalmente em
De forma geral:
Então, vamos ter:
Temos que analisar agora para quais valores de a transformada é válida. Para isso, lembramos da definição:
Essa integral, e consequentemente a transformada, só irá convergir com certeza se o valor na exponencial for menor que zero. Então, substituímos nossa expressão da transformada e vamos ter isso aqui:
Olhando para exponencial, vemos que precisamos que para garantir a convergência. Então, vamos ter:
Passo 3
Já vimos que:
Então, substituindo o valor que temos:
Considerando esse deslocamento, teremos:
Passo 4
Para terminar, vamos determinar
Para calcular essa derivada, usamos a regra do produto:
E nada muda com relação a , pois só derivamos a transformada. Então vai ficar: