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Exercícios Resolvidos de Transformada inversa de s^n

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Exercício 4123

Enunciado

UFRJ – Cálculo IV 2020/2 – P3 - Questão 4

A transformada de Laplace inversa L - 1 e - π s ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 )

a )   1 2 u π t sen ⁡ t - π + 1 2 sen ⁡ 2 t - π

b )   u π t sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

c )   1 3 sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

d )   1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

Passo 1

Vamos começar!

Se liga! A gente tem que calcular a transformada de Laplace da seguinte expressão...

e - π s ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 ) = e - π s ⋅ 1 ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 )

Rearranjando, obtemos que...

e - π s ⋅ 1 s 2 + 4 s 2 + 1 = e - π s - 1 3 s 2 + 4 + 1 3 ( s 2 + 1 )

Sendo que...

L - 1 1 3 s 2 + 4 = 1 6 sen ⁡ 2 t

L - 1 1 3 s 2 + 1 = 1 3 sen ⁡ t

Passo 2

E a gente sabe que...

L u c f t - c s = e - c s L [ f t ] ( s )

Logo...

L u π sen ⁡ t - π s = e - c s L sen ⁡ t = e - c s s 2 + 1

L u π sen ⁡ 2 t - π s = e - c s L sen ⁡ 2 t = e - c s s 2 + 4

E então, temos que...

= e - c s ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 )

Sendo assim, chegamos ao seguinte resultado...

L - 1 e - π s ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 ) = u π t 1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

L - 1 e - π s ( s 2 + 4 ) ( s 2 + 1 ) = 1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π

Resposta

d )   1 3 u π ( t ) sen ⁡ t - π - 1 2 sen ⁡ 2 t - π