Exercícios Resolvidos de Variação de temperatura em Estruturas com Deslocabilidade Externa

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Enunciado

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 20 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 20 ° C , determine a deformação horizontal do ponto B.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado
  • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado
  • M A = 3 E J α t i - t e 2 h

    E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

    Mas ainda tem uma observação muito importante:

    Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

    E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

    Passo 2

    Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

    • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

      • Sabemos que os pontos E e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
      • O ponto C não é nem rótula e nem apoio extremo, logo possuirá uma deslocabilidade interna. E sabemos que se possuímos deslocabilidade interna, temos obrigatoriamente que travar ela com uma chapa, sendo assim teremos que:
      • Agora que vem o diferencial. Os pontos A e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós A e B não podem rotacionar porque a barra AB possui uma inércia taõ grande que já vai impedir isso. Ou seja, só temos 1 deslocabilidade interna.
    • Analisando agora as deslocabilidades externas:

      • Os pontos E e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
      • O ponto C também pode ser considerado assim, além do mais, não pode nem se deslocar pra baixo e pra cima, e nem da esquerda para direita ou vice versa.
      • O ponto B também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.
      • Com o ponto B travado podemos ver que passamos a ter o ponto A indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.

    Passo 3

    Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 e β 20 .

    Perceba que todas as barras ou possuem na sua extremidade, ou uma chapa, ou um engaste ou uma barra de inércia infinita que sabemos que impede rotação. Dessa maneira a nossa estrutura pode ser definida como um tipo de estrutura Bi-engastada.

  • Caso Bi-engastado

M A = - M B = E J α t i - t e h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Substituindo os valores teremos que:

M A = - M B = 26042   .     1   .   10 - 5   . 20 - - 20 0,5 = 20,8336

Com esse valor conseguimos determinar o valor de β 10

β 10 = - 20,8336 + 20,8336 + 20,8336 = 20,8336

E para determinarmos β 20 teremos que determinar a reação de apoio que receberá contribuição apenas das barras AC e BD.

Perceba que temos duas reações de apoio, e que elas deram pra baixo (que é o nosso sentido negativo), dessa maneira teremos que:

β 20 = V A + V B = 0

Passo 2

Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:

  • β 11   e   β 21
  • Sabemos que para definir β 11 é muito simples, como se trata de uma chapa, basta rotacionarmos ela em 1 grau, que sempre rotacionamos no sentido anti-horário para sempre termos esse valor positivo.

    Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:

    Fazendo isso na nossa estrutura teremos que:

    Sendo assim o valor de β 11 será:

    β 11 = 4 E J L A C + 4 E J L E C + 4 E J L C D

    Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:

    1 E J

    Sendo assim teremos que:

    β 11 = 4 E J L A C + 4 E J L E C + 4 E J L C D 1 E J = 4 L A C + 4 L E C + 4 L C D = 4 6 + 4 6 + 4 6 = 2

    Para determinar o valor β 21 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.

    Veja que somente as barras EC e CA produziram reações na horizontal. Porém apenas a barra CA irá interferir no nosso apoio em 2, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a ela, sendo assim teremos que:

    Marcando as reações teremos que:

    - 6 H A + 2 6 + 4 6 = 0

    H A = 1 6

    E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H A está pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H A . Sendo assim teremos que:

    β 21 = H A = 1 6

    Passo 4

    Agora que definimos as rigidezes do sistema 1, precisamos determinar no sistema 2. Como o sistema 2 é um apoio iremos precisar usar o conceito de deformação e não amis de rotação.

  • β 22   e   β 12

Sabemos que para definir β 12 é muito simples, como se trata de uma chapa, basta analisarmos o momento que aparecerá nela após a deformação de 1 unidade.

Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:

Fazendo o deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Sendo assim o valor de β 12 será:

β 12 = 6 E J ρ L A C 2

Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:

1 E J

E também podemos usar que:

ρ = 1

Sendo assim teremos que:

β 12 = 6 E J ρ L A C 2 1 E J = 6 L A C 2 = 6 6 2 = 1 6

Para determinar o valor β 22 é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.

Veja que somente as barras CA e DB produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:

- 6 H A + 1 6 + 1 6 = 0

H A = 1 18

- 6 H B + 1 6 + 1 6 = 0

H B = 1 18

E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se H A e H B   estão pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de   H A + H B . Sendo assim teremos que:

β 22 = H A + H B = 1 18 + 1 18 = 2 18 = 1 9

Passo 3

Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:

β 10 + β 11 ∆ 1 + β 12 ∆ 2 = 0

β 20 + β 21 ∆ 1 + β 22 ∆ 2 = 0

Substituindo teremos que:

20,8336 + 2 ∆ 1 + 1 6 ∆ 2 = 0

0 + 1 6 ∆ 1 + 1 9 ∆ 2 = 0

∆ 1 = - 11,90  

∆ 2 = 17,86

Nosso objetivo era determinar a deformação horizontal do ponto B, que é exatamente o ponto que colocamos o apoio do primeiro gênero 2, que nós da o ∆ 2 .

Vale lembrar que também dividimos tudo por EJ, ou seja, precisamos dividir aqui para termos o resultado real.

∆ B = ∆ 1 . 1 E J = 17,86   . 1 26042 = 6,86   .   10 - 4 m = 0,686   m m

Resposta

∆ B = 0,686   m m