Exercícios Resolvidos de Variação de temperatura em Estruturas com Deslocabilidade Externa
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Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a e a temperatura das fibras internas igual a , determine a deformação horizontal do ponto B.
Passo 1
Antes de tudo precisamos saber a temperatura no da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.
Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:
Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.
Logo as fórmulas que temos que usar são:
- Caso Bi-engastado
- Caso Engastado e apoiado
- Analisando primeiro as deslocabilidades internas:
- Sabemos que os pontos E e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
- O ponto C não é nem rótula e nem apoio extremo, logo possuirá uma deslocabilidade interna. E sabemos que se possuímos deslocabilidade interna, temos obrigatoriamente que travar ela com uma chapa, sendo assim teremos que:
- Agora que vem o diferencial. Os pontos A e B estão nas extremidades da barra com inércia infinita. SEMPRE que tivermos uma barra com inércia infinita, ela obrigatoriamente tornará os nós da sua extremidade indeslocaveis com relação a rotação. Ou seja, os nós A e B não podem rotacionar porque a barra AB possui uma inércia taõ grande que já vai impedir isso. Ou seja, só temos 1 deslocabilidade interna.
- Analisando agora as deslocabilidades externas:
- Os pontos E e D são engastes, logo são considerados indeslocaveis.
- O ponto C também pode ser considerado assim, além do mais, não pode nem se deslocar pra baixo e pra cima, e nem da esquerda para direita ou vice versa.
- O ponto B também não pode se deslocar na vertical, porém pode claramente se deslocar na horizontal, por isso devemos travar ele nesse sentido, com o nosso velho amigo apoio do primeiro gênero.
- Com o ponto B travado podemos ver que passamos a ter o ponto A indeslocavel, logo teremos apenas 1 deslocabilidade externa mesmo.
- Caso Bi-engastado
E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o .
Mas ainda tem uma observação muito importante:
Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.
E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.
Passo 2
Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.
Passo 3
Determinado tudo isso vamos definir o valor de e .
Perceba que todas as barras ou possuem na sua extremidade, ou uma chapa, ou um engaste ou uma barra de inércia infinita que sabemos que impede rotação. Dessa maneira a nossa estrutura pode ser definida como um tipo de estrutura Bi-engastada.
E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:
Substituindo os valores teremos que:
Com esse valor conseguimos determinar o valor de
E para determinarmos teremos que determinar a reação de apoio que receberá contribuição apenas das barras AC e BD.
Perceba que temos duas reações de apoio, e que elas deram pra baixo (que é o nosso sentido negativo), dessa maneira teremos que:
Passo 2
Agora que definimos as rigidezes do sistema zero, precisamos determinar nos sistemas com a deformação de cada um dos travamentos, sendo assim teremos que:
Sabemos que para definir é muito simples, como se trata de uma chapa, basta rotacionarmos ela em 1 grau, que sempre rotacionamos no sentido anti-horário para sempre termos esse valor positivo.
Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:
Fazendo isso na nossa estrutura teremos que:
Sendo assim o valor de será:
Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:
Sendo assim teremos que:
Para determinar o valor é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.
Veja que somente as barras EC e CA produziram reações na horizontal. Porém apenas a barra CA irá interferir no nosso apoio em 2, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a ela, sendo assim teremos que:
Marcando as reações teremos que:
E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se está pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de . Sendo assim teremos que:
Passo 4
Agora que definimos as rigidezes do sistema 1, precisamos determinar no sistema 2. Como o sistema 2 é um apoio iremos precisar usar o conceito de deformação e não amis de rotação.
Sabemos que para definir é muito simples, como se trata de uma chapa, basta analisarmos o momento que aparecerá nela após a deformação de 1 unidade.
Como todas as extremidades são engastadas, e até mesmo os pontos A e B representam engastes, então teremos que a fórmula a ser usada é:
Fazendo o deslocamento na nossa estrutura teremos que:
Sendo assim o valor de será:
Sabemos que podemos usar rigidez relativa para facilitar as nossas contas, que podemos usar:
E também podemos usar que:
Sendo assim teremos que:
Para determinar o valor é muito simples, é só determinarmos a reação de apoio que age no nosso ponto 2.
Veja que somente as barras CA e DB produziram reações na horizontal, por isso iremos calcular apenas a reação de apoio referente a elas, sendo assim teremos que:
E aqui temos uma diferença importante, o sentido da reação nesse caso, é o mesmo da força calculada, ou seja, se e estão pra frente, e na mesma direção do apoio 2, então a reação em 2 vai ser pra frente também e com o mesmo valor de . Sendo assim teremos que:
Passo 3
Resolvendo o nosso sistema vamos ter que:
Substituindo teremos que:
Nosso objetivo era determinar a deformação horizontal do ponto B, que é exatamente o ponto que colocamos o apoio do primeiro gênero 2, que nós da o .
Vale lembrar que também dividimos tudo por EJ, ou seja, precisamos dividir aqui para termos o resultado real.