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Exercícios Resolvidos de Variação de temperatura em Estruturas com Deslocabilidade Externa

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Exercício 21345

Enunciado

Para estrutura abaixo, sabendo que à mesma possui a temperatura das fibras externas igual a - 10 0 ° C e a temperatura das fibras internas igual a + 10 0 ° C , determine o diagrama de momentos fletores da mesma.

α = 1   .   10 - 5

h = 50   c m

b = 50   c m

E = 5   .   10 6   k N / m 2

E J = 26042   k N m 2

Passo 1

Antes de tudo precisamos saber a temperatura no T g da nossa estrutura, sabemos que se for diferente de zero, deveremos usar williot, se for igual a zero, teremos que usar as formulazinhas básicas que temos.

Com isso, basta desenharmos o nosso diagrama de temperatura, e vermos no que vai dar, sendo assim teremos que:

Com isso vemos que a nossa estrutura tem a temperatura no centro de gravidade igual a zero.

Logo as fórmulas que temos que usar são:

  • Caso Bi-engastado

    • M A = - M B = E J α t i - t e h

  • Caso Engastado e apoiado

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E pasmem, é só isso mesmo que fazemos quando o t g = 0 .

Mas ainda tem uma observação muito importante:

Os sinais dos momentos são feitos levando em consideração que ∆ t > 0 , ou seja, que as temperaturas das fibras internas são maiores que as da externa.

E no nosso caso é exatamente isso que acontece, então podemos ficar tranquilos quanto a isso.

Passo 2

Sabendo qual é o nosso caso, precisamos agora definir as nossas deslocabilidades.

  • Analisando primeiro as deslocabilidades internas:

    • Sabemos que os pontos A e D são indeslocáveis, logo, não possuem deslocabilidade interna.
    • Sabemos também que os pontos B e C são rótulas, logo, também não possuem deslocabilidades internas.
    • Então já sabemos que não iremos por chapas na nossa estrutura

  • Analisando agora as deslocabilidades externas:

    • Veja que os pontos A e D são engastes, então não irão se deslocar, logo, também não temos deslocabilidades externas nesse ponto.
    • Porém veja que o ponto B apesar de não poder subir ou descer devido o engaste em A, pode ir pra frente ou pra trás, o que torna ele um ponto deslocavel, e sabemos que nesse tipo de caso precisamos travar esse movimento , especificamente com um apoio do primeiro gênero, dessa maneira teremos que:

    • Como o ponto B acabou de se tornar indeslocavel, por consequência, o ponto C se torna indeslocavel também, e com isso passamos a ter apenas uma deslocabilidade na nossa estrutura.

Passo 3

Determinado tudo isso vamos definir o valor de β 10 .

Para isso temos que olhar o que acontece com a nossa barra.

Sabendo que a barra AB e CD apresentam o mesmo comportamento estrutural, podemos ver que de um lado temos o engaste e do outro temos um apoio (representado pela rótula e pelo apoio do primeiro gênero, ou seja, podemos considerar essa barra do tipo engastada e apoiada, e a fórmula a ser usada nela é:

M A = 3 E J α t i - t e 2 h

E aplicando isso a nossa estrutura teremos que:

Perceba que a barra BC não possui nenhum tipo de momento, isso porque ela representa uma barra biapoiada, logo, não possui momentos de rigidez.

Substituindo os valores teremos que:

E assim teremos que determinar a reação de apoio que será feito por:

β 10 = V B + V C = 26,042 - 52,084 = - 26,042

Passo 4

Agora só precisamos definir β 11 para termos o nosso sistema completo. Para isso sabemos que temos que deslocar o nosso apoio, e deslocando o apoio, usamos a seguinte fórmula:

Fazendo esse deslocamento na nossa estrutura teremos que:

Como fizemos um deslocamento imposto, podemos dar o valor que quisermos pra ele, que no nosso caso pode ser dado por:

ρ = 1

Usando também o nosso conceito de rigidez relativa podemos dividir o nosso momento por EJ, e com isso restaria apenas:

3 l 1 2   e   3 l 3 2

Como temos o comprimento da barra fica fácil, e com isso teremos que:

3 l 1 2 = 3 6 2 = 0,083

3 l 3 2 = 3 3 2 = 0,333

E esse será o nosso valor de momento, mas qual é o nosso objetivo? É determinar a reação de apoio, porque vai ser a reação de apoio que vai nós dar o valor de β 11 . Mas temos que tomar cuidado, porque veja que temos momentos de ambos os lados, e ambos produziram reações horizontais, e precisamos contabilizar a contribuição dos dois, sendo assim teremos que:

Perceba que precisamos dos valores de H B e H C . Com isso teremos que:

6 H B - 0,083 = 0

H B = 0,0138

Para H c teremos que:

3 H C - 0,333 = 0

H C = 0,111

β 11 = H B + H c = 0,0138 + 0,111 = 0,1248

Passo 5

Agora que já fizemos a parte mais difícil, basta montarmos o nosso sistema de equações que será:

β 10 + β 11 ∆ 1 = 0

- 26,042 + 0,1248 ∆ 1 = 0

Resolvendo esse sistema teremos que:

∆ 1 = 208,67

Para determinação dos momentos fletores, precisamos do momento fletor de todos os nós em todas as barras em todos os sistemas, dessa forma a primeira coisa que devemos fazer é analisar cada sistema.

  • Sistema 0

  • Sistema 1

Uma coisa mega importante é lembrar de usar o fator de rigidez relativa EM TODOS OS CASOS que temos para o sistema 1, se não vamos errar, como já fizemos isso:

E usando a nossa fórmula para cada nó teremos que:

M A   ( b a r r a 1 ) = M 0 A ( b a r r a   1 ) + M 1 A ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M A   ( b a r r a 1 ) = 156,252 + 0,083   .     208,67 = 173,85   k N m

M B   ( b a r r a 1 ) = M 0 B ( b a r r a   1 ) + M 1 B ( b a r r a   1 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 1 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M B   ( b a r r a 2 ) = M 0 B ( b a r r a   2 ) + M 1 B ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M B   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 2 ) = M 0 C ( b a r r a   2 ) + M 1 C ( b a r r a   2 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M C   ( b a r r a 3 ) = M 0 C ( b a r r a   3 ) + M 1 C ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M C   ( b a r r a 2 ) = 0 + 0   .     0 = 0

M D   ( b a r r a 3 ) = M 0 D ( b a r r a   3 ) + M 1 D ( b a r r a   3 ) ∆ 1

M D   ( b a r r a 3 ) = - 156,252 + 0,333   .     208,67 = - 86,76

Perceba que já temos os momentos de cada nó da nossa estrutura, e para cada barra, sendo assim se desenharmos isso na nossa estrutura teremos que:

Resposta