Determine a razão entre os campos centrífugos 1 e 2, isto é , tal que as velocidades terminais das partículas 1 e 2 sejam as mesmas. Sabe-se que as partículas 1 e 2 são esféricas, de mesmo material e 2 possui o dobro do diâmetro de 1. Ambas estão imersas num mesmo fluido, estagnado, e cada uma está exposta, exclusivamente, aos campos centrífugos e , respectivamente. Considere o coeficiente de arraste, , igual para as duas partículas.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas partículas de mesmo material (daí igual ), mas de tamanhos diferentes; em termos de diâmetros, é dito que:
As duas partículas estão imersas em um mesmo fluido (daí igual ), mas expostas a campos centrífugos distintos, e .
O enunciado pede pra considerarmos igual para as duas partículas e, a partir disso, achar a razão para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual.
Sem dúvida, vamos ter que trabalhar com a expressão de para sedimentação em fluido estagnado, que vimos lá na teoria:
Como as partículas são esferas: e , lembrando que é o volume e é a área projetada. Daí, substituindo:
Passo 2
Agora que já sabemos com qual expressão vamos trabalhar, bora começar a escrever a expressão pra cada uma das esferas:
Usando :
Passo 3
Temos que achar a razão para que a velocidade terminal das duas partículas seja igual. Opa! Velocidades iguais... esse vai ser nosso ponto de partida, bora igualar essas duas velocidades.
Agora, vou colocar em evidência tudo que for igual para as duas:
E o que for igual podemos cortar dos dois lados, né? Daí:
Elevando os dois lados ao quadrado:
E, como queremos a razão :
Bom lembrar que, para que as velocidades terminais sejam iguais, os campos devem estar atuando na mesma direção e sentido 😉