Equações de Maxwell

Um bom caminho para chegar a forma integral é lembrar que os dois lados da equação precisam ter integrais.

Se a gente lembrar que:

É só substituir e aí:

Para a outra equacão a gente vai seguir a mesma ideia.

Podemos usar essa equação da corrente:

Aí é só substituir na equação principal e encontramos:

Mas se liga, não terminamos. Faltou UMA INTEGRAL no lado direito.

Calma aí que é só a gente lembrar que o fluxo do camplo elétrico é:

Então substituímos na equação que encontramos e aí temos:

Precisamos chegar a forma diferencial. Um bom caminho é pensar que devemos chegar em uma derivada.

Para a primeira equação, a gente pode usar o teorema da divergência:

Lembrando que pode ser usado para qualquer vetor, mas aqui vamos usar para o campo magnético que é o que nos interessa.

Como:

Temos que :

Derivando os dois lados teremos enfim:

Para a outra equacão, a gente vai seguir uma idéia parecida, mas antes precisamos colocar a equação na forma integral. Então vamos lembrar que o fluxo magnético é:

Assim, a gente substitui na equação e chegamos na forma integral:

Putz, e agora? De um lado temos o integrante   e do outro o integrante  . Como a gente deriva isso?

Fica tranquilo, podemos usar o teorema de STOKES para resolver essa parada.

O teorema de stokes diz que:

Lembrando que esse teorema serve para QUALQUER VETOR, mas no nosso caso interessa usarmos para o campo elétrico.

Se a gente substituir na equação da forma integral, encontraremos algo assim:

Golaço! Conseguimos colocar os dois lados da equação com o mesmo integrante. Agora precisamos derivar, mas primeiro passaremos o para dentro da integral.

Derivando os dois lados da equação, teremos enfim:

Nessa questão vamos ter que gastar os nossos conhecimentos de cálculo para resolve-las.

Podemos relacionar as seguintes equações

,

E chegaremos na seguinte fórmula

Mas objetivo da questão é que cheguemos na forma diferencial das leis de Maxwell e para isso precisamos dos teoremas de Gauss e Stokes.

Nesse caso podemos usar o teorema de Gauss, que é dado pela fórmula

Relacionando as duas fórmulas que temos, encontramos que

Podemos perceber que os dois fatores são integrais do volume, podemos escrever isso da seguinte forma

Agora pensa comigo, como o nosso volume é continuo e conexo, o único fator que pode zerar essa integral é o valor dentro do parênteses, ou seja, quando

Por fim

Agora devemos passar a seguinte fórmula para a forma diferencial, e como já sabemos, vamos gastar nossos conhecimentos de cálculo para isso

Nesse caso temos que lembrar que do teorema de Stokes temos a seguinte relação

Relacionando o nosso teorema de Stokes com a fórmula de Maxwell teremos que

Perceba que assim como na lei de Gauss todos os termos ficaram em função do volume, no teorema de Stokes todos ficaram em função da área, logo podemos isolar todos de um lado e junta-los da seguinte forma

Agora pensa comigo, se é uma superfície elementos simplesmente convexa e não nula, significa que apenas o tema dentro do parênteses pode ser capaz de zerar essa equação, ou seja,

Nessa questão de quer que usemos nossos conhecimentos de cálculo e Física3 e dessa forma determinarmos qual a fórmula diferencial de onda, nesse caso, para o campo , mas sabemos que ele também poderia pedir a do campo magnético, mas vamos focar no campo elétrico.

Sabemos que a lei de Faraday-lenz é dada pela formula

Vamos aplicar o operador Rotacional de ambos os lados da lei de Faraday-Lenz

Podemos escrever o seguinte termo, rotacional do rotacional

Em termos do gradiente, e a nova fórmula será

Dessa forma o nosso calculo ficou em termos do operador laplaciano

E para esse caso o nosso termo será igual a zero

Dessa forma o nosso termo principal ficará assim

Mas perceba que podemos fazer uma inversão entre a operação de derivada temporal com o operador rotacional , teremos então

Olha que interessante, você lembra qual a fórmula da equação de ampère-Maxwell para o vácuo?

Substituindo na equação anterior teremos

Por fim teremos

Podemos ainda escrever a nossa equação de onda da seguinte forma

Primeiro, bora substituir o campo magnético nessa identidade vetorial, que vai ficar assim:

Se a gente analisar legal essa equação, vamos ver algumas equações de Maxwell que podemos substituir, sendo elas:

E:

Substituindo na equação teremos algo assim:

Vamos arrumar essa equação agora. Primeiro, podemos inverter a ordem do rotacional pelas constantes e pela derivada no produto vetorial. A equação vai ficar com essa cara:

Agora se liga, outra equação de Maxwell na forma diferencial apareceu com essa arrumação.

Essa aqui:

Substituindo na nossa equação:

Arrumando melhor:

E arrumando para ficar com a cara da equação da onda:

Pronto, chegamos na equação da onda. Agora a gente pode arrumar isso um pouco melhor, lembrando que:

E enfim:

1. Use a forma diferencial da lei de Gauss para determinar e em termos de .

A forma diferencial da Lei de Gauss é dada por:

Porém temos duas considerações a fazer:

• O campo elétrico não tem componente no eixo . Logo, , e sua derivada se anula.
• No vácuo, nós não temos cargas. Isso significa que a densidade de cargas é nula .

Usando o que o problema nos disse:

Quando a onda eletromagnética se propaga paralelamente a um dos eixos, ela segue a equação de ondas unidimensionais:

Onde é a velocidade da luz no vácuo (no caso dela se propagando no vácuo). Mas o enunciado nos diz que o campo satisfaz a equação de onda tridimensional!

A equação de ondas tridimensional é a forma mais geral, que é quando a onda se propaga em uma direção qualquer e por isso derivamos o campo elétrico em relação a todos os eixos!

Onde é uma forma compacta (arquivo .zip) de escrever o seguinte:

Como o campo elétrico, agora, teria ele próprio três componentes (ele não é paralelo a nenhum eixo), colocamos a setinha nele e a nossa equação é um resumo das três equações:

Juntas em uma! São muitas compactações e resumo, né não? (Não, é preguiça de escrever mesmo, sou sincero)

Como o campo elétrico só tem as componentes e , vamos ter só as duas equações:

Vamos abrir a equação em .

Como não varia com :

Além disso, a derivada segunda em relação a , e vão ser:

Agora vamos jogar TUDO isso na equação, e teremos:

Poderíamos fazer a mesma coisa com a componente , mas eu já vou te adiantar, pra evitar a trabalheira, que embora a equação mude um pouco, o resultado vai ser o mesmo. (só muda um sinalzinho aqui e ali).

A forma diferencial da Lei de Faraday é dada por:

Agora só temos que integrar os dois lados: