Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 32.Problemas desafioadores - Ex. 58
58- As ondas eletromagnéticas se propagam em condutores de modo muito diferente da propagação em dielétricos e no vácuo. Quando a resistividade do condutor for suficientemente pequena (ou seja, quando ele for um bom condutor), o campo elétrico oscilante da onda produzirá uma corrente de condução oscilante que é muito maior do que a corrente de deslocamento. Nesse caso, a equação de onda para o campo elétrico se propagando no sentido no interior do condutor é dada por
Em que é a permeabilidade do condutor e é sua resistividade.
Uma solução para essa equação de onda é dada por
Em que . Verifique essa solução substituindo na equação de onda precedente.
O termo exponencial mostra que a amplitude do campo elétrico diminui a medida que a onda se propaga. Explique a razão desse efeito.( Sugestão: o campo realiza trabalho para mover a carga no interior do condutor. A corrente resultante desse movimento produz uma dissipação de calor no interior do condutor, fazendo a sua temperatura aumentar. De onde provém a energia para isso?)
Mostre que a amplitude do campo elétrico diminui de um fator para uma distância determinada por e calcule essa distância para uma onda de rádio com frequência no cobre (resistividade e permeabilidade ). Como essa distância é muito pequena, as ondas eletromagnéticas praticamente não se propagam no interior do cobre. Ao contrário, elas são refletidas na superfície do metal. A partir disso se conclui que as ondas de rádio não penetram no cobre nem em outros metais, explicando-se por que a recepção das ondas de rádio é extremamente fraca no interior de um ambiente cercado por uma estrutura metálica.
Passo 1
Mas uma daquelas questões quilométricas com resoluções nem tão grandes assim, mas que cansam. Na letra só queremos verificar a equação diferencial dada no enunciado
E pra isso vamos derivar a equação de dada a letra em relação a e a e que será:
Derivando em relação a nós temos:
E as duas derivadas em relação a será:
Agora a segunda derivada em relação a :
Substituindo na EDO temos:
E como então então toda a equação é válida pois as duas partes são iguais. Pois cortando nos dois lados nós teremos:
Passo 2
Para a letra não tem mistério, a energia da onda eletromagnética representa uma onda eletromagnética subamortecida, então sua amplitude diminui a medida que a onda se propaga em
E como a medida que o campo elétrico diminui com a distância então a potência que flui sobre um cabo que conduz essa energia diminui com a distância também.
Passo 3
A onda eletromagnética com equação
É uma onda com característica subamortecida e sua amplitude varia de acordo com o termo:
Isso significa que na distância de a amplitude dessa onda será de e para uma distância qualquer essa amplitude irá diminuir para um fator do campo máximo e que será de:
Onde esse fator é uma porcentagem determinada, tipo 10% da amplitude máxima.
Se fizermos esse fator ser igual a (tal como a letra nos diz e que nos representa da amplitude máxima do campo elétrico) nós teremos:
Então essa distância será (com os dados da letra ).
E que realmente é uma distância bem pequena para que tenhamos uma perda total de do campo elétrico dentro do condutor.