Núcleo e Imagem de uma TL
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Já demos uma olhada no que é uma . Então agora vamos nos aprofundar em duas coisas chamadas Núcleo e Imagem. Mas, primeiro vamos começar com o Núcleo.
Núcleo de uma TL
Lembra de quando estudávamos funções, onde um elemento era uma raiz se zerasse a função? Tipo, é raiz da função porque .
Uma coisa importante que temos que lembrar disso é que as raízes dessa função pertencem ao seu domínio. Já o zero gerado está no contra-domínio!
O Núcleo de uma é bem parecido com isso. Ele é o conjunto dos elementos do domínio (sejam eles vetores, matrizes ou polinômios) que zeram a . A definição é a seguinte:
Repetindo, os geradores do núcleo sempre pertencem ao domínio da !! Veja na definição do conjunto que todos os vetores desse conjunto , que é o domínio da .
To batendo muito nessa tecla, mas se reclamar bato mais ainda haha, porque é muito importante galera. Tem que tá no sangue.
Tá, agora que todo mundo entendeu a definição vamos aprender a achar essa bagaça.
Por exemplo, temos essa simpática :
Para acharmos os geradores do núcleo é só igualarmos a ao elemento nulo do contra-domínio.
Vale ressaltar duas coisas importantes aqui. Primeiro, o elemento nulo não é necessariamente o zero, lembra galera? Segundo, você iguala ao vetor nulo do contra-domínio. Até porque não faria sentido igualar à um vetor fora do espaço que essa leva né haha. Continuando:
De :
Substituindo em :
em :
Sendo assim, os geradores do núcleo são o conjunto dos vetores que tem e . Então eles vão ter essa cara:
Loooogo, ou .
Opa, lembram que os elementos do Núcleo pertencem ao domínio (ai de vocês se não lembrarem!)? Então, note que o vetor genérico que a gente arrumou tem três coordenadas! Então ele é do né, que é o domínio da nossa ;)
Vale comentar mais algumas coisas:
Não é muito difícil de vermos que o núcleo de uma será sempre um espaço vetorial do domínio dela (porque ele faz parte do domínio!!!). Se duvidar de mim pode provar aí que você já sabe fazer isso haha. Então:
Nesse exemplo que eu dei o núcleo tinha dimensão (é o espaço gerado por um único vetor). Então, podíamos dizer que a Nulidade dessa transformação é A Nulidade de uma transformação linear é a dimensão do seu núcleo: .
Ah, e não esquece:
Imagem de uma TL
Além do Núcleo, existe um outro espaço vetorial muito importante relacionado a uma transformação: a imagem. A imagem de uma transformação são todos os elementos transformados a partir do domínio de uma .
Ou seja, são todos os elementos do contra domínio que a gera. Mais formalmente:
Repare que os elementos da imagem sempre, SEMPRE, pertence ao contra domínio, pois são os elementos transformados . Assim, . Isso aí, vou ficar batendo nessa tecla igual fiz com o núcleo haha.
Beleza, mas como eu acho qual é essa imagem? E quais são os geradores dela?
Vamos pegar, por exemplo, essa outra transformação
Primeiro vamos desmembrar a fórmula da . Teremos:
Assim,
Oi? Só isso?! Sim, só isso haha. Mamatinha.
Note que os vetores da imagem possuem coordenadas! E temos que e o . Loooooogo (isso aí, vou falar de novo), a imagem está no contra domínio!
Assim como quando falamos de núcleo, vale comentar algumas coisas:
A imagem de uma também será sempre um subespaço vetorial do contra domínio da . Então:
Também temos um nome especial para a dimensão da imagem. O Posto de uma transformação linear é a dimensão da sua imagem .
Obs: O termo nulidade não é tão usado, mas o termo posto é muito comum então vale a pena gravar.
Por último, mas não menos importante: