Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 43
(Requer cálculo) Seja o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo e o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em .
- Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja .
- Encontre uma transformação linear cujo núcleo seja .
Passo 1
Show de bola galera, como estamos falando do núcleo da transformação, queremos que sejam um vetor tal que . Ou seja, como temos dois polinômios que são funções reais com derivadas contínuas temos que aplicar uma transformação que torne esse polinômio em . De acordo com o cálculo eu sei que cada derivada que aplico no polinômio eu diminuo um grau dele, e quando eu derivo uma constante ela dá . Logo o segredo aqui é a gente aplicar uma transformação que derive o nosso polinômio até chegarmos em .
Passo 2
Na letra (a) temos o polinômio de grau 3, logo se derivarmos 3 vezes, vamos chegar em uma constante, e se derivarmos mais uma vez essa constante, vamos chegar em . Isso quer dizer que a transformação linear que realiza uma sequência de 4 derivadas possui como núcleo. Portanto temos que
Onde é quarta derivada da função .
Passo 3
Na letra (b) temos o mesmo raciocínio que na (a), só que agora nosso polinômio pertence a , isto é, ele tem grau , e como no exercício anterior precisamos derivar vezes o polinômio , agora em precisamos derivar vezes pra chegar em uma constante e mais vez pra fazermos a constante chegar em . Logo a operação que deriva o polinômio de grau , , vezes possui o espaço como núcleo. Portanto
Onde é a operação que deriva vezes a função .