12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.

(a) w → = 3,7 ,   u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1 2 , 1 2

(b) w → = - 1,0 , 2 , u → 1 = 2 3 , - 2 3 , 1 3 , u → 2 = 2 3 , 1 3 , - 2 3 , u → 3 = 1 3 , 2 3 , 2 3

Passo 1

(a) Aplicando o Teorema:

w → = w → ⋅ u → 1 u → 1 + w → ⋅ u → 2 u → 2

Vamos começar calculando os produtos internos:

w → ⋅ u 1 = 3 1 2 + 7 - 1 2

w → ⋅ u → 1 = - 4 2

w → ⋅ u 2 = 3 1 2 + 7 1 2

w → ⋅ u → 2 = 10 2

Então:

w → = - 4 2 u → 1 + 10 2 u → 2

Passo 2

(b) Usando o teorema, então:

w → = w → ⋅ u → 1 u → 1 + w → ⋅ u → 2 u → 2 + w → ⋅ u → 3 u → 3

Vamos começar calculando os produtos internos:

w → ⋅ u → 1 = - 1 2 3 + 0 - 2 3 + 2 1 3

w → ⋅ u → 1 = 0

w → ⋅ u → 2 = - 1 2 3 + 0 1 3 + 2 - 2 3

w → ⋅ u → 2 = - 2

w → ⋅ u → 3 = - 1 1 3 + 0 2 3 + 2 2 3

w → ⋅ u → 3 = 1

Então:

w → = - 2 u → 2 + u → 3

Resposta

(a) w → = - 4 2 u → 1 + 10 2 u → 2

(b) w → = - 2 u → 2 + u → 3

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