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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.3 - Ex. 13

13. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordnadas de w → em relação a essa base.

(a) w → = 2,0 , 5 , u → 1 = 2 3 , 1 3 , 2 3 , u → 2 = 1 3 , 2 3 , - 2 3 , u → 3 = 2 3 , - 2 3 , - 1 3

(b) w → = - 1,1 , 2 , u → 1 = 3 11 , 1 11 , 1 11 , u → 2 = - 1 6 , 2 6 , 1 6 , u → 3 = - 1 66 , - 4 66 , 7 66

Passo 1

(a) Usando o teorema:

w → = w → ⋅ u → 1 u → 1 + w → ⋅ u → 2 u → 2 + w → ⋅ u → 3 u → 3

Vamos começar calculando os produtos internos:

w → ⋅ u → 1 = 2 2 3 + 0 1 3 + 5 2 3

w → ⋅ u → 1 = 14 3

w → ⋅ u → 2 = 2 1 3 + 0 2 3 + 5 - 2 3

w → ⋅ u → 2 = - 8 3

w → ⋅ u → 3 = 2 2 3 + 0 - 2 3 + 5 - 1 3

w → ⋅ u → 3 = - 1 3

Então:

w → = 14 3 u → 1 - 8 3 u → 2 - 1 3 u → 3

Passo 2

(b Usando o teorema:

w → = w → ⋅ u → 1 u → 1 + w → ⋅ u → 2 u → 2 + w → ⋅ u → 3 u → 3

Vamos começar calculando os produtos internos:

w → ⋅ u → 1 = - 1 3 11 + 1 1 11 + 2 1 11

w → ⋅ u → 1 = 0

w → ⋅ u → 2 = - 1 - 1 6 + 1 2 6 + 2 1 6

w → ⋅ u → 2 = 5 6

w → ⋅ u → 3 = - 1 - 1 66 + 1 - 4 66 + 2 7 66

w → ⋅ u → 3 = 11 66

Então:

w → = 5 6 u → 2 + 11 66 u → 3

Resposta

(a) w → = 14 3 u → 1 - 8 3 u → 2 - 1 3 u → 3

(b) w → = 5 6 u → 2 + 11 66 u → 3

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8. Verifique que o conjunto de vetores 1,0 , 0,1 é ortogonal com o produto interno u → , v → = 4 u 1 v 1 + u 2 v 2 de R 2 e converta-o num conjunto ortonormal normalizando seus vetores.
12. É dada uma base ortonormal com o produto interno euclidiano. Use o teorema 6.3.2b para encontrar o vetor de coordenadas de w → em relação a essa base.(a) w → = 3,7 ,u → 1 = 1 2 , - 1 2 , u → 2 = 1
11. (a) Mostre que os vetores v → 1 = 1 , - 2,3 , - 4 ,v → 2 = 2,1 , - 4 , - 3 ,v → 3 = - 3,4 , 1 , - 2 ,v → 4 = 4,3 , 2,1 Formam uma base ortogonal de R 4 com produto interno euclidiano.(b) Use o Teo
9. Verifique que os vetores: v → 1 = - 3 5 , 4 5 , 0 , v → 2 = 4 5 , 3 5 , 0 , v → 3 = 0,0 , 1 Formam uma base ortonormal de R 3 com o produto interno euclidiano. Depois, em cada parte, use o Teorema
10. Verifique que os vetores: v → 1 = 1 , - 1,2 , - 1 , v → 2 = - 2,2 , 3,2 , v → 3 = 1,2 , 0 . - 1 , v → 4 = 1,0 , 0,1 Formam uma base ortonormal de R 4 com o produto interno euclidiano. Depois, em c