Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 13
Prove que os vetores linha de uma matriz invertível A de tamanho formam uma base de .
Passo 1
Fala aê!! Blz? Nesta questão vamos provar que os vetores linha de uma matriz invertível de tamanho formam uma base de . Para isso, precisamos saber que:
Teorema 1:
“Se e são matrizes equivalentes de linha, (a) um determinado conjunto de vetores de coluna de é linearmente independente se e somente se os vetores de coluna correspondentes de forem linearmente independentes. (b) Um determinado conjunto de vetores de coluna de forma uma base para o espaço de coluna de se e somente se os vetores de coluna correspondentes de formam uma base para o espaço de coluna de .”
Então, considerando uma matriz invertível . Como também é invertível, é equivalente a . Logo, os vetores de coluna de são linearmente independentes. Portanto, em virtude do teorema citado, os vetores de coluna de , que são apenas os vetores de linha de , também são linearmente independentes. Desta maneira, as linhas de formam um conjunto de vetores linearmente independentes em e, consequentemente, formam a base para .
Resposta
Considerando uma matriz invertível . Como também é invertível, é equivalente a . É claro que os vetores de coluna de são linearmente independentes. portanto, em virtude do Teorema , os vetores de coluna de , que são apenas os vetores de linha de , também são linearmente independentes. Portanto, as linhas de formam um conjunto de vetores linearmente independentes em e, consequentemente, formam a base para .